Calcule a integral iterada.
Passo 1
Beleza, vamos calcular essa integral tripla que envolve $ x $, $ z $ e $ y $. A integral é:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo multivariado, especificamente integrais iteradas. Vamos precisar usar as regras de integração em sequência e entender como cada variável se relaciona com as demais.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a integral mais interna, que é em relação a $ x $. Observamos que a função $ z e^{y} $ não depende de $ x $, então a integral fica mais simples:
Como $ z e^{y} $ é constante em relação a $ x $, a integral de uma constante $ C $ em relação a $ x $ de $ a $ a $ b $ é simplesmente $ C \times (b - a) $. Então:
Passo 3
Agora, substituímos o resultado da primeira integral na integral do meio, que é em relação a $ z $:
Aqui, podemos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos deixar $ u = 1 - z^{2} $. Então, $ du = -2z , dz $, ou $ -\frac{1}{2} du = z , dz $.
Substituindo:
A integral de $ \sqrt{u} $ é $ \frac{2}{3} u^{3/2} $, então:
Voltando para $ z $:
Agora, avaliamos de $ z = 0 $ a $ z = 1 $:
Então, a integral em relação a $ z $ resulta em $ \frac{1}{3} e^{y} $.
Passo 4
Agora, substituímos esse resultado na integral mais externa, que é em relação a $ y $:
Podemos tirar a constante $ \frac{1}{3} $ para fora da integral:
A integral de $ e^{y} $ em relação a $ y $ é $ e^{y} $, então:
Resposta
A integral tripla é igual a $ \frac{e^{3} - 1}{3} $.