Considere a função racional:
f(x)=x^3-4 xx^3+2 x^2-3 x
Identifique os pontos notáveis (interseções de f(x) com os eixos x e y, valores de x para os quais a função é indefinida).

Passo 1

A gente tem a função racional f(x)=x^3-4xx^3+2x^2-3x. O objetivo é achar onde ela cruza o eixo x (raízes), o eixo y (valor em x=0) e para que valores de x a função não está definida. Isso envolve conteúdo de funções racionais e fatoração de polinômios.

Passo 2

Primeiro a gente fatorou numerador e denominador para ver raízes e pontos de descontinuidade:
Numerador:
x^3-4x = x,(x^2-4) = x,(x-2),(x+2)
Denominador:
x^3+2x^2-3x = x,(x^2+2x-3) = x,(x+3),(x-1)

Passo 3

As interseções com o eixo x vêm de f(x)=0, ou seja, das raízes do numerador que também estejam no domínio. Das raízes x=0,2,-2 percebemos que em x=0 a função é indefinida (zero do denominador), então os únicos zeros válidos são
x=-2e x=2
o que dá os pontos de interseção (-2,0) e (2,0).

Passo 4

Para achar onde a função não está definida, olhamos as raízes do denominador:
x=0,;x=-3,;x=1
Em x=0 temos uma descontinuidade removível (o fator x cancelaria), e em x=-3 e x=1 temos assíntotas verticais.

Passo 5

A interseção com o eixo y seria o ponto $ (0,f(0)) $, mas como (0,f(0)) não existe, concluímos que não há interseção com o eixo y.

Resposta

Interseções com o eixo x: (-2,0) e (2,0). Não há interseção com o eixo y. A função é indefinida em x = -3, 0 e 1.

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