Calcule os seguintes limites:
lim x +infty x^42(raizx^3+1-raizx^3-1).

Passo 1

O enunciado pede o limite limxto+infty x^2l(raizx^3+1-raizx^3-1r). O conteúdo é indeterminação do tipo inftycdot0, e para resolver vamos usar a técnica de racionalização (multiplicar pelo conjugado).

Passo 2

Começamos multiplicando e dividindo pela soma dos radicais:
x^2l(raizx^3+1-raizx^3-1r) = x^2cdot(x^3+1)-(x^3-1)raizx^3+1+raizx^3-1 = 2x^2raizx^3+1+raizx^3-1

Passo 3

Para simplificar, fatoramos x^3/2 dentro dos radicais:
raizx^3pm1=x^3/2raiz1pmtfrac1x^3

Passo 4

Logo,
2x^2raizx^3+1+raizx^3-1 = 2x^2x^3/2l(raiz1+1/x^3+raiz1-1/x^3r) = 2x^1/2raiz1+1/x^3+raiz1-1/x^3

Passo 5

Quando xto+infty, temos raiz1pm1/x^3to1. Assim o denominador tende a 2 e o numerador a +infty.
Portanto o limite diverge para mais infinito.

Resposta

+infty

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