Considere a função racional:
f(x)=x^3-4 xx^3+2 x^2-3 x
Determine as assíntotas verticais e horizontais.

Passo 1

Temos a função racional f(x)=x^3-4xx^3+2x^2-3x. Para achar assíntotas verticais, precisamos ver onde o denominador zera e não é cancelado pelo numerador. Já para a assíntota horizontal, analisamos o comportamento de f(x) quando xtopminfty, comparando os graus de numerador e denominador.

Passo 2

Vamos fatorar numerador e denominador para identificar possíveis cancelamentos. No numerador:
x^3-4x = x(x^2-4) = x(x-2)(x+2)
No denominador:
x^3+2x^2-3x = x(x^2+2x-3) = x(x+3)(x-1)

Passo 3

Observando que ambos têm fator comum x, simplificamos a função (exceto em x=0):
f(x)=(x-2)(x+2)(x+3)(x-1), xneq0
As raízes do denominador original são x=0, x=-3 e x=1. Em x=0 houve cancelamento (buraco), mas em x=-3 e x=1 não há cancelamento, gerando descontinuidade não removível.

Passo 4

Assíntotas verticais são onde f(x)topminfty, ou seja, nos zeros não cancelados do denominador:
x=-3
x=1

Passo 5

Para a assíntota horizontal, como o grau do numerador e do denominador são iguais (grau 3), ela é a reta dada pela razão dos coeficientes líderes:
y=11=1

Resposta

Assíntotas verticais: x=-3 e x=1. Assíntota horizontal: y=1.

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