Calcule a integral iterada
convertendo para coordenadas polares.
Passo 1
A gente quer calcular a integral iterada
convertendo para coordenadas polares. É um problema de mudança de variáveis em integrais duplas: vamos usar
,
e o jacobiano
.
Passo 2
Identificamos a região de integração em
:
$$
D={(x,y):0\le y\le\sqrt2,;y\le x\le\sqrt{4-y^2}}\n
0\le\theta\le\frac{\pi}{4},
\quad 0\le r\le 2.
\quad 0\le r\le 2.
$$
Passo 3
No integrando, como
, temos
E o elemento de área fica
. Assim a integral vira
Passo 4
Agora calculamos primeiro em
:
Fazendo
dá
, logo
Entre 0 e 2 isso vale
Passo 5
Por fim, a parte em
é só
Multiplicando o resultado de
por
dá