Calcule a integral iterada integral0^raiz2 integraly^raiz4-y^2 1raiz1+x^2+y^2 d y d x convertendo para coordenadas polares.

Passo 1

A gente quer calcular a integral iterada
integral0^raiz2integraly^raiz4-y^21raiz1+x^2+y^2,dx,dy
convertendo para coordenadas polares. É um problema de mudança de variáveis em integrais duplas: vamos usar x=rcostheta, y=rsintheta e o jacobiano dx,dy=r,dr,dtheta.

Passo 2

Identificamos a região de integração em (x,y):
$$
D={(x,y):0\le y\le\sqrt2,;y\le x\le\sqrt{4-y^2}}\n D=(x,y):0<= y<=raiz2,;y<= x<=raiz4-y^2néíéíé
0\le\theta\le\frac{\pi}{4},
\quad 0\le r\le 2.
$$

Passo 3

No integrando, como x^2+y^2=r^2, temos
1raiz1+x^2+y^2=1raiz1+r^2
E o elemento de área fica dx,dy=r,dr,dtheta. Assim a integral vira
integral0^pi/4!integral0^2rraiz1+r^2,dr,dtheta

Passo 4

Agora calculamos primeiro em r:
integral0^2rraiz1+r^2,dr
Fazendo u=1+r^2 du=2r,dr, logo
integralrraiz1+r^2,dr =integral12u^-1/2,du =raizu+C =raiz1+r^2+C
Entre 0 e 2 isso vale
raiz1+2^2-raiz1+0^2=raiz5-1

Passo 5

Por fim, a parte em theta é só
integral0^pi/4dtheta=pi4
Multiplicando o resultado de r por pi/4

Passo 6

(raiz5-1)cdotpi4.

Resposta

dfracpi(raiz5-1)4

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