Exercício 6: Em cada item, identifique se a equação diferencial é separável, homogênea, exata ou linear e encontre a solução utilizando o método adequado:
l(2-3 y^2) y^prime=x^2 y(3)=-2

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem com condição inicial: \ $ (2 - 3y^2) y’ = x^2, ; y(3) = -2 $. O conteúdo aqui é equação separável, pois podemos escrever (2 - 3y^2) y' = x^2, ; y(3) = -2 e separar variáveis.

Passo 2

Para separar variáveis, dividimos ambos os lados por (2 - 3y^2) e multiplicamos por dx, obtendo:
(2 - 3y^2),dy = x^2,dx

Passo 3

Agora integramos cada lado:
integral (2 - 3y^2),dy = integral x^2,dx

Passo 4

No lado esquerdo a integral é 2y - y^3 (pois integral 2,dy = 2y e integral -3y^2,dy = -y^3); no direito é x^3/3 + C. Logo temos:
2y - y^3 = x^33 + C

Passo 5

Usando a condição inicial y(3) = -2, substituímos x=3 e y=-2:
2(-2) - (-2)^3 = 3^33 + C -4 + 8 = 9 + C 4 = 9 + C C = -5

Passo 6

Substituindo C na solução geral, obtemos a solução implícita final.

Resposta

$ 2y - y^3 = x^33 - 5

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