Exercício 3: Em cada item, verifique se a equação diferencial é homogênea e encontre a solução utilizando uma substituição adequada:
lx y^2 d yd x=y^3-x^3 y(1)=2

Passo 1

Temos a EDO de primeira ordem com condição inicial
Temos a equação
x,y^2dydx=y^3-x^3
com a condição inicial y(1)=2. O conteúdo aqui é EDO homogênea de primeira ordem, e vamos precisar usar a teoria que diz que se f(x,y)=dydx é função apenas de y/x, a equação é homogênea e se resolve com a substituição y=v x.

Passo 2

Para verificar homogeneidade, isolamos dydx e reescrevemos
dydx=y^3-x^3x,y^2= racx^3l((y/x)^3-1r)x,x^2(y/x)^2=(y/x)^3-1(y/x)^2,
o que mostra que o lado direito depende só de v=y/x. Logo, a EDO é homogênea.

Passo 3

Fazendo a substituição y=v x, temos
y'=dydx=v+xdvdx
Substituindo em x y^2y'=y^3-x^3 e usando y=v x, obtemos
x(vx)^2(v+xv')=(v^3-1)x^3,
o que simplifica para
v^2(v+xv')=v^3-1

Passo 4

Rearranjando e isolando as variáveis, chega-se a
v^2xdvdx=-1
ou seja
v^2dv=-dxx
Agora a EDO está separável.

Passo 5

Integrando ambos os lados:
integral v^2,dv=-integraldxx
resulta em
v^33=-ln|x|+C
Voltando a y via v=y/x temos v^3=y^3/x^3, então
y^33x^3=-ln|x|+C
ou equivalently y^3=x^3(C-3ln|x|).

Passo 6

Usando a condição inicial y(1)=2 a gente acha
2^3=1^3(C-3ln1)implies8=C
Portanto a constante C é 8 e a solução explícita fica

Passo 7

Substituindo C=8 na expressão geral, obtemos
y(x)=xl(8-3ln|x|r)^1/3

Resposta

y(x)=xl(8-3ln|x|r)^1/3

Exercícios relacionados