Exercício 3: Em cada item, verifique se a equação diferencial é homogênea e encontre a solução utilizando uma substituição adequada:
Passo 1
Temos a EDO de primeira ordem com condição inicial
Temos a equação
com a condição inicial
. O conteúdo aqui é EDO homogênea de primeira ordem, e vamos precisar usar a teoria que diz que se
é função apenas de
, a equação é homogênea e se resolve com a substituição
.
Passo 2
Para verificar homogeneidade, isolamos
e reescrevemos
o que mostra que o lado direito depende só de
. Logo, a EDO é homogênea.
Passo 3
Fazendo a substituição
, temos
Substituindo em
e usando
, obtemos
o que simplifica para
Passo 4
Rearranjando e isolando as variáveis, chega-se a
ou seja
Agora a EDO está separável.
Passo 5
Integrando ambos os lados:
resulta em
Voltando a
via
temos
, então
ou equivalently
.
Passo 6
Usando a condição inicial
a gente acha
Portanto a constante
é 8 e a solução explícita fica
Passo 7
Substituindo
na expressão geral, obtemos