Exercício 7: Aplicações:
Um tanque contém inicialmente 10 litros de água com uma concentração de 1 g de sal por litro. Uma solução salina com concentração de 5 g de sal por litro é adicionada ao tanque a uma taxa de 2 litros por minuto, enquanto a solução bem misturada é retirada do tanque à mesma taxa de 2 litros por minuto. Qual será a quantidade de sal no tanque após 10 minutos?
Sendo A(t) a quantidade de sal (em gramas) no tanque no instante t, a taxa de variação da quantidade de sal é dada por
d Ad t=( taxa de entrada de sal )-( taxa de saída de sal ) í
em que a taxa de entrada de sal é igual ao produto da concentração da solução salina pela quantidade de litros que entra por minuto e a taxa de saída de sal é igual ao produto da concentração de sal no tanque pela quantidade de litros que sai por minuto.

Passo 1

O enunciado pede para modelar a mistura de sal num tanque de volume constante usando equação diferencial e calcular a quantidade de sal após 10 min.

Passo 2

Como a vazão de entrada e saída é a mesma (2 L/min), o volume permanece V=10 L. Se A(t) é a massa de sal (g), a taxa de variação satisfaz
dAdt=underbrace5,gLtimes2,Lmintaxa de entrada-underbraceA(t)10,Ltimes2,Lmintaxa de saída í
Ou seja,

Passo 3

Reescrevendo, temos a EDO linear de primeira ordem
dAdt+0.2,A=10
para a qual vamos usar fator integrante.

Passo 4

O fator integrante é mu(t)=e^integral0.2,dt=e^0.2t. Multiplicando a EDO por mu(t) e integrando, obtemos a solução geral
A(t)=C,e^-0.2t+50
(onde 50 é solução particular).

Passo 5

Aplicando a condição inicial A(0)=10
10=C+50implies C=-40
Logo
A(t)=50-40,e^-0.2t

Passo 6

Para t=10 minutos, substituímos:
A(10)=50-40,e^-0.2times10=50-40,e^-2

Resposta

A(10)=50-40e^-2 g de sal

Exercícios relacionados