Exercício 7: Aplicações:
Um tanque contém inicialmente 10 litros de água com uma concentração de 1 g de sal por litro. Uma solução salina com concentração de 5 g de sal por litro é adicionada ao tanque a uma taxa de 2 litros por minuto, enquanto a solução bem misturada é retirada do tanque à mesma taxa de 2 litros por minuto. Qual será a quantidade de sal no tanque após 10 minutos?
Sendo a quantidade de sal (em gramas) no tanque no instante , a taxa de variação da quantidade de sal é dada por
em que a taxa de entrada de sal é igual ao produto da concentração da solução salina pela quantidade de litros que entra por minuto e a taxa de saída de sal é igual ao produto da concentração de sal no tanque pela quantidade de litros que sai por minuto.
Passo 1
O enunciado pede para modelar a mistura de sal num tanque de volume constante usando equação diferencial e calcular a quantidade de sal após 10 min.
Passo 2
Como a vazão de entrada e saída é a mesma (2 L/min), o volume permanece V=10 L. Se A(t) é a massa de sal (g), a taxa de variação satisfaz
Ou seja,
Passo 3
Reescrevendo, temos a EDO linear de primeira ordem
dAdt+0.2,A=10
para a qual vamos usar fator integrante.
Passo 4
O fator integrante é mu(t)=e^integral0.2,dt=e^0.2t. Multiplicando a EDO por mu(t) e integrando, obtemos a solução geral