Calcule a integral iterada.
integral0^4 integral0^raiz2 x y^2 d x d y

Passo 1

A questão pede para calcular a integral iterada integral0^4integral0^raiz2 x,y^2,dx,dy. Esse problema envolve integrais iteradas de funções de duas variáveis. Vamos usar a definição de integral iterada e integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y.

Passo 2

Calcule a integral interna em x. Observe que y^2 é constante em relação a x, então:
integral0^raiz2 x,y^2,dx = y^2 integral0^raiz2 x,dx
Agora calculamos integral0^raiz2 x,dx:
integral0^raiz2 x,dx = [x^22]0^raiz2 = (raiz2)^22 = 1
Logo, a integral interna é y^2 cdot 1 = y^2.

Passo 3

Calcule a integral externa em y. Substituindo o resultado da interna, temos:
integral0^4 y^2,dy = [y^33]0^4 = 4^33 = 643
Esse é o valor final da integral iterada.

Resposta

\frac{64}{3}

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