Exercício 0.4 Calcule as derivas implícitas a seguir:
x^4+y^4=12 x^2 y.

Passo 1

A questão pede a derivada implícita da curva dada por x^4+y^4=12x^2y. O conteúdo aqui é derivação implícita, ou seja, derivar ambos os lados em relação a x e usar regra da cadeia para y e regra do produto para x^2y.

Passo 2

Vamos derivar cada termo em relação a x:
ddx(x^4) + ddx(y^4) = ddx(12x^2y)
Usando derivada de potência e cadeia:
ddx(x^4) = 4x^3,
ddx(y^4) = 4y^3,y',
à direita, aplicando a regra do produto em x^2y:
ddx(x^2y) = (2x),y + x^2,y'
Multiplicando por 12:
ddx(12x^2y) = 12l(2x y + x^2y'r) = 24xy + 12x^2y'

Passo 3

Agora juntamos tudo:
4x^3 + 4y^3y' = 24xy + 12x^2y'
Isolando os termos com y':
4y^3y' - 12x^2y' = 24xy - 4x^3
Fatorando y':
y'(4y^3 - 12x^2) = 24xy - 4x^3

Passo 4

Dividindo ambos os lados por (4y^3 - 12x^2) e simplificando o fator 4:
y' = 24xy - 4x^34(y^3 - 3x^2) = 6xy - x^3y^3 - 3x^2

Resposta

y'=dfrac6xy - x^3y^3 - 3x^2

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