Calcule a integral iterada.
integral0^2 integral0^varepsilon^2 integral0^-z(2 x-y) d x d y d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integralz=0^2integraly=0^varepsilon^2integralx=0^-z(2x - y),dx,dy,dz
O conteúdo aqui é cálculo de integrais múltiplas por integração iterada: a gente começa integrando em x, depois em y e por fim em z, sempre aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Integramos primeiro em x, tratando y e z como constantes:
integral0^-z(2x - y),dx = l[x^2 - y,xr]0^-z = (-z)^2 - y,(-z) = z^2 + y,z

Passo 3

Agora integramos o resultado em y, de 0 até varepsilon^2:
integral0^varepsilon^2l(z^2 + y,zr),dy = z^2,l[;yr]0^varepsilon^2 + z,l[tfracy^22r]0^varepsilon^2 = z^2,varepsilon^2 + z,varepsilon^42

Passo 4

Por fim, integramos em z de 0 a 2:
integral0^2!l(z^2,varepsilon^2 + tfracz,varepsilon^42r),dz = varepsilon^2integral0^2z^2,dz + varepsilon^42integral0^2z,dz = varepsilon^2,2^33 + varepsilon^42,2^22 = 83,varepsilon^2 + varepsilon^4

Resposta

83,varepsilon^2 ;+;varepsilon^4

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