Encontre a massa de um fio na forma de
se a densidade é
.
Passo 1
O enunciado pede a massa de um fio descrito pelo arco
cuja densidade em cada ponto
é
.
Para resolver, precisamos usar o conceito de integral de linha de uma densidade escalar sobre uma curva no plano, e a fórmula do elemento de comprimento de arco
Para resolver, precisamos usar o conceito de integral de linha de uma densidade escalar sobre uma curva no plano, e a fórmula do elemento de comprimento de arco
Passo 2
Escrevemos a massa
como integral de linha:
Aqui
e
é sua derivada.
Passo 3
Calculamos
. Como
, pela regra da cadeia,
Passo 4
Agora avaliamos o fator de comprimento de arco:
Passo 5
Substituímos
e
na integral de massa:
Passo 6
A integral fica imediata:
Resposta
A massa do fio é
.