Encontre a massa de um fio na forma de y=raiz9-x^2(0 <= x <= 3) se a densidade é de<a(x, y)=M y.

Passo 1

O enunciado pede a massa de um fio descrito pelo arco
y = raiz9 - x^2, 0 <= x <= 3,
cuja densidade em cada ponto (x,y) é de<a(x,y)=M,y.
Para resolver, precisamos usar o conceito de integral de linha de uma densidade escalar sobre uma curva no plano, e a fórmula do elemento de comprimento de arco
ds = raiz1 + l(y'(x)r)^2;dx

Passo 2

Escrevemos a massa m como integral de linha:
m ;=;integralCde<a(x,y),ds ;=;integral0^3M,y(x),raiz1 + l(y'(x)r)^2;dx
Aqui y(x)=raiz9-x^2 e y'(x) é sua derivada.

Passo 3

Calculamos y'(x). Como y(x)=(9-x^2)^1/2, pela regra da cadeia,
y'(x)=12(9-x^2)^-1/2cdot(-2x) ;=;-,xraiz9-x^2

Passo 4

Agora avaliamos o fator de comprimento de arco:
raiz1 + l(y'(x)r)^2 =raiz1 + x^29-x^2 =raiz9-x^2 + x^29-x^2 =3raiz9-x^2

Passo 5

Substituímos y(x) e raiz1+(y')^2 na integral de massa:
m =integral0^3M;raiz9-x^2;3raiz9-x^2;dx =integral0^33M;dx

Passo 6

A integral fica imediata:
m = 3M integral0^3dx = 3M cdot 3 = 9M

Resposta

A massa do fio é 9M.

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