Calcule a integral iterada
integral0^1 integral0^2 x integral0^y 2 x y z d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral iterada tripla:
integral0^1 integral0^2x integral0^y 2xy z , dz , dy , dx
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos calcular a integral passo a passo, integrando uma variável de cada vez. Vamos precisar conhecer as regras de integração e como lidar com integrais aninhadas.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral mais interna, que é em relação a $ z $:
z
Nesta etapa, consideramos $ x $ e $ y $ como constantes, porque estamos integrando em relação a $ z $. A função a ser integrada é $ 2xy z $.
A integral de $ z $ em relação a $ z $ é:
integral0^y 2xy z , dz
Agora, avaliamos essa expressão nos limites de integração de $ z = 0 $ a $ z = y $:
x
Então, a integral interna resulta em $ xy^3 $.

Passo 3

Agora, vamos integrar o resultado anterior em relação a $ y $:
y
Aqui, $ x $ é uma constante em relação a $ y $. A função a ser integrada é $ xy^3 $.
A integral de $ y^3 $ em relação a $ y $ é:
integral0^2x xy^3 , dy
Multiplicando pelo $ x $:
x
Agora, avaliamos essa expressão nos limites de integração de $ y = 0 $ a $ y = 2x $:
y
Então, a integral em relação a $ y $ resulta em $ 4x^5 $.

Passo 4

Por fim, vamos integrar o resultado anterior em relação a $ x $:
x
A função a ser integrada é $ 4x^5 $.
A integral de $ x^5 $ em relação a $ x $ é:
integral0^1 4x^5 , dx
Multiplicando pelo 4:
4x^5
Agora, avaliamos essa expressão nos limites de integração de $ x = 0 $ a $ x = 1 $:
x^5

Resposta

A integral iterada vale 23.

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