Determine
raio de convergência e o intervalo de convergência.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
O conteúdo envolvido é séries de potências e vamos usar o critério da razão de D’Alembert para obter o raio de convergência.
Passo 2
Para simplificar a aplicação do critério, definimos
e escrevemos a série como
onde
Passo 3
Aplicamos o critério da razão em relação a
: calculamos
Passo 4
Como o limite do critério da razão é infinito, o raio de convergência em
t é
Logo, para qualquer valor de
t=(x-1)^2 a série converge.
Passo 5
Como
t=(x-1)^2>=0 e
Rt=+infty , isso significa que a série converge para todo
xinR . Portanto, o raio de convergência em
x é
e o intervalo de convergência é
.
Resposta
Raio de convergência: R = +∞; Intervalo de convergência: (-∞, +∞).