Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência.
sumk=0^+infty pi^k(x-1)^2 k(2 k+1)!

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
sumk=0^+inftypi^k(x-1)^2k(2k+1)!
O conteúdo envolvido é séries de potências e vamos usar o critério da razão de D’Alembert para obter o raio de convergência.

Passo 2

Para simplificar a aplicação do critério, definimos
t = (x-1)^2
e escrevemos a série como
sumk=0^+inftyak ,t^k,
onde
ak = pi^k(2k+1)!

Passo 3

Aplicamos o critério da razão em relação a t: calculamos
limktoinfty|akak+1| = limktoinftypi^k/(2k+1)!pi^k+1/(2k+3)! = limktoinfty(2k+3)!(2k+1)!cdot1pi = limktoinfty(2k+3)(2k+2)pi = +infty

Passo 4

Como o limite do critério da razão é infinito, o raio de convergência em t é
Rt = +infty
Logo, para qualquer valor de t=(x-1)^2 a série converge.

Passo 5

Como t=(x-1)^2>=0 e Rt=+infty, isso significa que a série converge para todo xinR. Portanto, o raio de convergência em x é
Rx = +infty
e o intervalo de convergência é
.

Resposta

Raio de convergência: R = +∞; Intervalo de convergência: (-∞, +∞).

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