Calcule a integral iterada.
integral0^1 integral0^1 x y raizx^2+y^2 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
integral0^1 integral0^1 x y raizx^2+y^2 , dy , dx
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com integrais iteradas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis, seguindo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, aquela que está dentro dos sinais de integral:
integral0^1 x y raizx^2+y^2 , dy
Aqui, vamos tratar como uma constante, já que estamos integrando em relação a .

Passo 3

Observamos que a função a ser integrada é u = x^2 + y^2 . Para simplificar, fazemos uma substituição. Vamos definir:
dudy = 2y Rightarrow dy = du2y
Então, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Substituindo integral x y raizu cdot du2y = x2 integral raizu , du e na integral, temos:
Note que o cancela, simplificando a integral.

Passo 5

Agora, integramos x2 integral u^1/2 , du = x2 cdot 23 u^3/2 + C = x3 u^3/2 + C :
x3 (x^2 + y^2)^3/2 + C
Substituindo :

Passo 6

Voltando aos limites da integral interna, de x3 (x^2 + y^2)^3/2 |0^1 = x3 [ (x^2 + 1)^3/2 - (x^2)^3/2 ] a x3 [ (x^2 + 1)^3/2 - x^3 ] :
Simplificando:

Passo 7

Agora, temos que integrar essa expressão em relação a integral0^1 x3 [ (x^2 + 1)^3/2 - x^3 ] , dx de 0 a 1:
13 integral0^1 x (x^2 + 1)^3/2 , dx - 13 integral0^1 x^4 , dx
Podemos separar essa integral em duas partes:

Passo 8

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
integral x (x^2 + 1)^3/2 , dx
Aqui, fazemos a substituição:
u = x^2 + 1 Rightarrow du = 2x , dx Rightarrow x , dx = du2
Então, a integral fica:
12 integral u^3/2 , du = 12 cdot 25 u^5/2 + C = 15 u^5/2 + C
Substituindo 15 (x^2 + 1)^5/2 + C :
integral x^4 , dx = x^55 + C
Segunda integral:

Passo 9

Voltando aos limites de 0 a 1 para cada parte:
Primeira parte:
15 [ (1^2 + 1)^5/2 - (0^2 + 1)^5/2 ] = 15 [ 2^5/2 - 1 ] = 15 [ 4raiz2 - 1 ]
Segunda parte:
15 [ 1^5 - 0^5 ] = 15 (1 - 0) = 15

Passo 10

Combinando ambas as partes na expressão original:
13 ( 4raiz2 - 15 ) - 13 ( 15 ) = 4raiz2 - 115 - 115 = 4raiz2 - 215
Simplificando:
2raiz2 - 115

Resposta

A integral iterada vale .

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