Calcule a integral iterada: integral1^4 integral1^2(xy+yx) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral iterada . Esse exercício envolve integrais múltiplas, especificamente integrais duplas, onde a gente integra uma função de duas variáveis em uma região retangular. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções em relação a uma variável de cada vez e usar propriedades básicas das integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é . Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral1^2 xy , dy + integral1^2 yx , dy

Passo 4

Agora, resolvemos cada integral separadamente.
Para a primeira parte x integral1^2 1y , dy = x [ln y]1^2 = x (ln 2 - ln 1) = x ln 2 :
Como é constante, podemos tirar fora da integral:
Já que .

Passo 5

Para a segunda parte 1x integral1^2 y , dy = 1x [y^22]1^2 = 1x (42 - 12) = 1x cdot 32 = 32x :
Aqui, é constante em relação a , então tiramos fora:

Passo 6

Agora, juntamos as duas partes:
integral1^2 (xy + yx) dy = x ln 2 + 32x

Passo 7

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a integral1^4 (x ln 2 + 32x) dx de 1 a 4:

Passo 8

Vamos separar essa integral também:
ln 2 integral1^4 x , dx + 32 integral1^4 1x , dx

Passo 9

Calculando cada parte:
Para ln 2 [x^22]1^4 = ln 2 (162 - 12) = ln 2 cdot 152 = 152 ln 2 :
32 [ln x]1^4 = 32 (ln 4 - ln 1) = 32 ln 4
Para :

Passo 10

Simplificando 32 ln 4 = 32 cdot 2 ln 2 = 3 ln 2 para , temos:

Passo 11

Agora, somamos as duas partes:
152 ln 2 + 3 ln 2 = (152 + 3) ln 2 = 212 ln 2

Resposta

A integral iterada vale .

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