Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do paraboloide hiperbolico z=4+x^2-y^2 e acima do quadrado R=[-1,1] times[0,2].

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo de volume usando integração dupla. O problema nos pede para encontrar o volume do sólido que está abaixo do paraboloide hiperbólico e acima do quadrado . Para isso, vamos utilizar integrais duplas, que são ferramentas matemáticas para calcular volumes sob superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . Ela é definida como e . Isso significa que vamos integrar nas variáveis e dentro desses limites para encontrar o volume.

Passo 3

A fórmula para o volume V = integral duplaR f(x,y) , dA sob a superfície V = integral duplaR (4 + x^2 - y^2) , dx , dy sobre a região é dada por:
No nosso caso, , então substituímos na fórmula:

Passo 4

Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a integral-1^1 (4 + x^2 - y^2) , dx , mantendo = integral-1^1 4 , dx + integral-1^1 x^2 , dx - integral-1^1 y^2 , dx constante. Os limites para são de -1 a 1:
Integrando termo a termo:

Passo 5

Calculando cada integral separadamente:
integral-1^1 4 , dx = 4x |-1^1 = 4(1) - 4(-1) = 8
integral-1^1 x^2 , dx = x^33 |-1^1 = 13 - (-13) = 23
integral-1^1 y^2 , dx = y^2 cdot (1 - (-1)) = 2y^2
Então, somando:
8 + 23 - 2y^2 = 263 - 2y^2

Passo 6

Agora, integrando o resultado em relação a V = integral0^2 ( 263 - 2y^2 ) , dy de 0 a 2:
= 263y |0^2 - 2 cdot y^33 |0^2
Integrando termo a termo:
= 263(2) - 23(8) = 523 - 163 = 363 = 12

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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