Escreva
usando a função de Heaviside e determine
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
O objetivo é reescrever essa função usando a função de Heaviside e, em seguida, calcular a transformada de Laplace de $ f(t) $. Vamos precisar entender como usar a função de Heaviside para modelar funções que mudam de valor em determinado ponto, e saber aplicar as propriedades da transformada de Laplace.
Passo 2
A função de Heaviside, denotada por $ u_c(t) $, é uma função que vale 0 para $ t < c $ e 1 para $ t \geq c $. Ela é útil para “ativar” uma função a partir de certo ponto no tempo.
No nosso caso, a mudança ocorre em $ t = 2 $. Então, podemos usar $ u_2(t) $ para representar essa transição.
Passo 3
Vamos reescrever $ f(t) $ usando a função de Heaviside. A função $ e^{t-2} $ começa a valer a partir de $ t = 2 $, então multiplicamos essa expressão por $ u_2(t) $:
Isso porque, para $ t < 2 $, $ u_2(t) = 0 $, então $ f(t) = 0 $, e para $ t \geq 2 $, $ u_2(t) = 1 $, então $ f(t) = e^{t-2} $.
Passo 4
Agora, vamos calcular a transformada de Laplace de $ f(t) $. A transformada de Laplace de $ f(t) $ é dada por:
Substituindo $ f(t) = e^{t-2} u_2(t) $:
Passo 5
A presença da função de Heaviside $ u_2(t) $ indica que a função $ f(t) $ é zero para $ t < 2 $. Portanto, podemos ajustar os limites da integral para começar em $ t = 2 $:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Essa é uma integral de uma função exponencial. A antiderivada de $ e^{kt} $ é $ \frac{1}{k} e^{kt} $, onde $ k = 1 - s $.
Então,
Aplicando os limites de integração:
Para que a integral convirja, precisamos que o expoente no limite quando $ t \to \infty $ seja negativo, ou seja, $ 1 - s < 0 $, o que implica $ s > 1 $.
Assumindo que $ s > 1 $, o termo $ e^{t(1 - s)} $ tende a zero quando $ t \to \infty $. Portanto, o resultado da integral é:
Passo 7
Voltando à expressão da transformada de Laplace:
Resposta
A transformada de Laplace de $ f(t) $ é: