Determine o comprimento da curva y=x^2 de x=0 a x=1.

Passo 1

Neste exercício, queremos encontrar o comprimento da curva y = x² para x variando de 0 a 1. O conteúdo é comprimento de arco de curvas no plano, e vamos usar a fórmula que envolve a derivada da função.

Passo 2

Para aplicar a fórmula de comprimento de arco, calculamos primeiro a derivada da função. Como y = x², temos y’ = 2x. A fórmula geral para o comprimento L é
L = integrala^b raiz1 + (y')^2,dx
Aqui, a = 0 e b = 1.

Passo 3

Substituindo y’ = 2x na fórmula, o integrando fica raiz1 + (2x)^2 = raiz1 + 4x^2. Logo,
L = integral0^1 raiz1 + 4x^2,dx

Passo 4

Para calcular integral raiz1 + 4x^2,dx, usamos a fórmula padrão
integral raiz1 + k^2 x^2,dx = x2raiz1 + k^2 x^2 + 12klnl(kx + raiz1 + k^2 x^2r) + C
No nosso caso, k = 2.

Passo 5

Aplicando a fórmula com k = 2, obtemos a primitiva
F(x) = x2raiz1 + 4x^2 + 14lnl(2x + raiz1 + 4x^2r)

Passo 6

Agora avaliamos de 0 a 1:
L = F(1) - F(0) = (12raiz5 + 14ln(2 + raiz5)) - 0

Resposta

raiz52 + 14lnl(2 + raiz5r)

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