Determine o comprimento da curva
de
a
.
Passo 1
Neste exercício, queremos encontrar o comprimento da curva y = x² para x variando de 0 a 1. O conteúdo é comprimento de arco de curvas no plano, e vamos usar a fórmula que envolve a derivada da função.
Passo 2
Para aplicar a fórmula de comprimento de arco, calculamos primeiro a derivada da função. Como y = x², temos y’ = 2x. A fórmula geral para o comprimento L é
Aqui, a = 0 e b = 1.
Passo 3
Substituindo y’ = 2x na fórmula, o integrando fica
. Logo,
Passo 4
Para calcular
, usamos a fórmula padrão
No nosso caso, k = 2.
Passo 5
Aplicando a fórmula com k = 2, obtemos a primitiva
Passo 6
Agora avaliamos de 0 a 1: