Calcule a integral iterada:
integral0^1 integral0^x integral0^x+y(x+y+z) d z d y d x.
R.: 78.

Passo 1

A gente quer calcular a integral tripla integral0^1!integral0^x!integral0^x+y(x+y+z),dz,dy,dx. O conteúdo envolve integrais iteradas e achar primitivas em cada variável na ordem dada.

Passo 2

Vamos integrar primeiro em z. A integral interna é integral0^x+y(x+y+z),dz. Para isso, achamos uma primitiva de x+y+z em relação a z:
(x+y)z + tfracz^22
Avaliando de 0 a x+y, fica:
(x+y)(x+y) + tfrac(x+y)^22 = tfrac32(x+y)^2

Passo 3

Agora a integral tripla virou
integral0^1!integral0^x tfrac32(x+y)^2 ,dy,dx

Passo 4

Integramos em y. A primitiva de (x+y)^2 é
integral (x+y)^2,dy = tfrac(x+y)^33
Logo,
integral0^x tfrac32(x+y)^2,dy = tfrac32 cdot tfrac(x+y)^33|0^x = tfrac12l((2x)^3 - x^3r) = tfrac72x^3

Passo 5

Por fim, integramos em x:
integral0^1 tfrac72x^3,dx = tfrac72 cdot tfracx^44|0^1 = tfrac78

Resposta

\tfrac{7}{8}

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