Faça um esboço da região de integração e calcule as integrais sendo explícito se vai precisar mudar a ordem de integração.
integral0^3 integral-2^0(x^2 y-2 x y) d y d x.
R.: 0 .

Passo 1

O enunciado pede esboçar a região de integração e calcular a integral iterada integral0^3 integral-2^0l(x^2y-2xyr),dy,dx. O conteúdo é integrais duplas (ou integrais iteradas) e vamos precisar desenhar a região no plano xy e usar integração em duas etapas: primeiro em y, depois em x.

Passo 2

A região de integração R é o retângulo definido por 0 <= x <= 3 e -2 <= y <= 0. No plano xy, basta traçar as linhas verticais x=0, x=3 e as linhas horizontais y=-2, y=0. Não é necessário trocar a ordem de integração pois o domínio é retangular.

Passo 3

Vamos calcular a integral interna em y:
integral-2^0l(x^2y-2xyr),dy = x^2 integral-2^0y,dy -2x integral-2^0y,dy

Passo 4

Como integral-2^0y,dy=l[y^2/2r]-2^0=0-tfrac42=-2, temos
integral-2^0l(x^2y-2xyr),dy = x^2(-2) -2x(-2) = -2x^2 +4x

Passo 5

Agora integramos em x de 0 a 3:
$$\int_{0}{3}(-2x{2}+4x),dx = \left[-\tfrac{2x^{3}}{3} +2x{2}\right]_{0}{3}
= \Bigl(-\tfrac{2\cdot27}{3}+2\cdot9\Bigr)-0 = (-18+18)=0.$$

Resposta

0

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