Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado: delimitado pelo paraboloide
e pelo plano
.
R.:
.
R.:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume do sólido limitado acima pelo plano
e abaixo pelo paraboloide
. O conteúdo é cálculo de volume usando integrais duplas em coordenadas polares, e vamos precisar: a projeção do sólido no plano
, a expressão do elemento de volume em polares e a diferença entre as superfícies.
Passo 2
Para achar a projeção no plano
, igualamos as duas superfícies:
, o que dá
. Em coordenadas polares isso vira
, ou seja
e
.
Em coordenadas polares, o elemento de área é e a altura do sólido é a diferença
.
Em coordenadas polares, o elemento de área é
Passo 3
O volume fica na forma da integral dupla
Passo 4
Calculando primeiro em
:
Passo 5
Agora integramos em
:
Resposta
8\pi