Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado: delimitado pelo paraboloide z=9-x^2-y^2 e pelo plano z=5.
R.: 28 pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume do sólido limitado acima pelo plano z=5 e abaixo pelo paraboloide z=9 - x^2 - y^2. O conteúdo é cálculo de volume usando integrais duplas em coordenadas polares, e vamos precisar: a projeção do sólido no plano xy, a expressão do elemento de volume em polares e a diferença entre as superfícies.

Passo 2

Para achar a projeção no plano xy, igualamos as duas superfícies: 9 - x^2 - y^2 = 5, o que dá x^2 + y^2 = 4. Em coordenadas polares isso vira r^2 = 4, ou seja 0 <= r <= 2 e 0 <= theta <= 2pi.
Em coordenadas polares, o elemento de área é dA = r,dr,dtheta e a altura do sólido é a diferença ztopo - zfundo = (9 - r^2) - 5 = 4 - r^2.

Passo 3

O volume fica na forma da integral dupla
V = integraltheta=0^2pi integralr=0^2 (4 - r^2),r,dr,dtheta

Passo 4

Calculando primeiro em r:
integral0^2(4 - r^2),r,dr = integral0^2(4r - r^3),dr = l[2r^2 - tfracr^44r]0^2 = 8 - 4 = 4

Passo 5

Agora integramos em theta:
V = integral0^2pi 4,dtheta = 4 times 2pi = 8pi

Resposta

8\pi

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