Calcule a integral iterada.
integral0^1 integral0^1 y1+x y d x d y

Passo 1

Temos a integral iterada integral0^1 integral0^1 y1+x y ,dx,dy. O conteúdo aqui é cálculo de integrais duplas por integração iterada. Para resolver, vamos primeiro integrar em x (integral interna) e depois integrar em y.

Passo 2

Para um y fixo, calculamos a integral interna:
integral0^1 y1+x y ,dx = y integral0^1 11+x y ,dx

Passo 3

Fazendo a substituição u = 1 + x y, temos du = y,dx e quando x=0, u=1; quando x=1, u=1+y. Assim:
y integral0^1 11+x y ,dx = y integralu=1^u=1+y 1u cdot duy = integral1^1+y 1u ,du = ln(1+y)

Passo 4

Logo, a integral dupla se reduz a
integral0^1 ln(1+y) ,dy

Passo 5

Para calcular integral0^1 ln(1+y) ,dy, usamos integração por partes: Escolhemos u = ln(1+y) e dv = dy. Então du = 11+y ,dy e v = y. Pela fórmula integral u,dv = u v - integral v,du,
integral0^1 ln(1+y) ,dy = l[yln(1+y)r]0^1 - integral0^1 y1+y ,dy

Passo 6

Para integral0^1 y1+y ,dy, escrevemos y = (1+y)-1 e separamos:
integral0^1 y1+y ,dy = integral0^1 l(1 - 11+yr) ,dy = l[y - ln(1+y)r]0^1 = (1 - ln2) - (0 - 0) = 1 - ln2

Passo 7

Substituindo de volta:
integral0^1 ln(1+y) ,dy = l(1cdotln2 - 0r) - (1 - ln2) = ln2 - 1 + ln2 = 2ln2 - 1

Resposta

2\ln(2) - 1

Exercícios relacionados