Encontre as dimensões do paralelepípedo retângulo reto de maior volume que pode ser inscrito no elipsóide de equação
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar as dimensões de um paralelepípedo retângulo de maior volume que cabe dentro do elipsóide dado pela equação $ x^{2} + 2y^{2} + z^{2} = 1 $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente otimização, e um pouquinho de geometria para entender como o paralelepípedo se encaixa no elipsóide.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa inscrever um paralelepípedo no elipsóide. Isso quer dizer que todas as vértices do paralelepípedo devem estar dentro ou na superfície do elipsóide. Vamos considerar que o paralelepípedo é centrado na origem e tem dimensões $ 2a $, $ 2b $, e $ 2c $ nos eixos $ x $, $ y $, e $ z $, respectivamente. Assim, os vértices serão $ (\pm a, \pm b, \pm c) $.
Passo 3
Agora, vamos expressar o volume do paralelepípedo. O volume $ V $ é dado por:
Nosso objetivo é maximizar $ V $ sujeito à restrição dada pela equação do elipsóide:
Substituindo os vértices do paralelepípedo na equação do elipsóide, temos:
Passo 4
Para maximizar o volume $ V = 8abc $ sob a restrição $ a^{2} + 2b^{2} + c^{2} = 1 $, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Definimos a função Lagrangeana:
Agora, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
$$
$$
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações:
- Da primeira equação: $ 8bc = 2\lambda a $ => $ 4bc = \lambda a $
- Da segunda equação: $ 8ac = 4\lambda b $ => $ 2ac = \lambda b $
- Da terceira equação: $ 8ab = 2\lambda c $ => $ 4ab = \lambda c $
Dividindo a primeira equação pela segunda:
Dividindo a segunda equação pela terceira:
Agora, substituímos $ a = \sqrt{2}b $ e $ c = \sqrt{2}b $ na restrição:
Então, as dimensões são:
Resposta
As dimensões do paralelepípedo retângulo de maior volume inscrito no elipsóide $ x^{2} + 2y^{2} + z^{2} = 1 $ são: