Calcule a integral iterada.
integral1^32 integraly^3-y y d x d y

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral iterada integral1^tfrac32 integraly^3-y y,dx,dy. O conteúdo é integração dupla em coordenadas cartesianas, e vamos usar a propriedade de que podemos integrar primeiro em x (mantendo y constante) e depois em y.

Passo 2

Inner (primeira) integral: como y é constante no interior, temos
integraly^3-y y,dx = y l[xr]x=y^x=3-y = yl((3-y)-yr) = y(3-2y)

Passo 3

Outer (segunda) integral: substituindo o resultado anterior, calculamos
integral1^tfrac32 y(3-2y),dy = integral1^tfrac32 (3y - 2y^2),dy
O antiderivado de 3y - 2y^2 é
32y^2 - 23y^3

Passo 4

Avaliando entre os limites:
no superior y=tfrac32:
32l(tfrac32r)^2 - 23l(tfrac32r)^3 = 32cdot94 - 23cdot278 = 278 - 5424 = 278 - 94 = 27-188 = 98
no inferior y=1:
32cdot1^2 - 23cdot1^3 = 32 - 23 = 9-46 = 56
Subtraindo: tfrac98 - tfrac56 = tfrac27-2024 = tfrac724.

Resposta

724

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