Uma mola tem massa de 1 kg com constante de amortecimento igual a 10 e a sua constante de mola é k=100. A mola é liberada a partir do repouso em um ponto 0,8 m acima da sua posição de equilíbrio. Determine o primeiro instante em que a mola passa pela posição de equilíbrio indo para cima.

Passo 1

O enunciado dá um sistema massa-mola amortecido com massa de 1 kg, constante de amortecimento c=10 e constante de mola k=100. A mola parte do repouso em x(0)=0,8 m (acima do equilíbrio) e x’(0)=0. O objetivo é achar o primeiro t>0 tal que x(t)=0 com velocidade positiva (indo para cima).

Passo 2

A equação diferencial do movimento é obtida por balancear forças: força da mola, força de amortecimento e inércia da massa. Como m=1, c=10 e k=100, temos
x'' + 10x' + 100x = 0

Passo 3

Para resolver essa EDO homogênea de coeficientes constantes, escrevemos o polinômio característico
r^2 + 10r + 100 = 0,
cuja solução é
r = -5 pm 5iraiz3
Isto mostra que o sistema é subamortecido, com frequência amortecida omegad = 5raiz3 e fator de decaimento e^-5t.

Passo 4

A solução geral é
x(t) = e^-5tl(Acos(5raiz3,t) + Bsin(5raiz3,t)r)
Aplicando as condições iniciais x(0)=0,8 e x’(0)=0, obtemos A=0,8 e
x'(t)=e^-5tl[-5(Acosomegadt+Bsinomegadt)+omegad(-Asinomegadt+Bcosomegadt)r],
então em t=0: -5A + Bomegad = 0 leva a B = 0,8/raiz3

Passo 5

Para achar quando x(t)=0, basta zerar o parêntese:
Acos(omegadt) + Bsin(omegadt)=0Longrightarrow tan(omegadt) = -raiz3
As soluções são
omegadt = -pi3 + npi, ninZ

Passo 6

Dividindo por omegad=5raiz3, as duas primeiras soluções positivas para t são
t1 = 2pi/35raiz3, t2 = 5pi/35raiz3

Passo 7

Precisamos do primeiro instante em que a velocidade é positiva. Cálculo de x’(t) mostra que em t_1 a velocidade é negativa (passando para baixo) e em t_2 é positiva (passando para cima).

Passo 8

Logo, o primeiro instante em que a mola passa pela posição de equilíbrio indo para cima é
[ t = \frac{5\pi/3}{5\sqrt{3}} = \frac{\pi}{3\sqrt{3}} = \frac{\pi\sqrt{3}}{9}s \approx 0{,}605s.

Resposta

t = piraiz39 s approx 0,605 s

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