Uma mola tem massa de 1 kg com constante de amortecimento igual a 10 e a sua constante de mola é
. A mola é liberada a partir do repouso em um ponto
acima da sua posição de equilíbrio. Determine o primeiro instante em que a mola passa pela posição de equilíbrio indo para cima.
Passo 1
O enunciado dá um sistema massa-mola amortecido com massa de 1 kg, constante de amortecimento c=10 e constante de mola k=100. A mola parte do repouso em x(0)=0,8 m (acima do equilíbrio) e x’(0)=0. O objetivo é achar o primeiro t>0 tal que x(t)=0 com velocidade positiva (indo para cima).
Passo 2
A equação diferencial do movimento é obtida por balancear forças: força da mola, força de amortecimento e inércia da massa. Como m=1, c=10 e k=100, temos
Passo 3
Para resolver essa EDO homogênea de coeficientes constantes, escrevemos o polinômio característico
cuja solução é
Isto mostra que o sistema é subamortecido, com frequência amortecida
Passo 4
A solução geral é
Aplicando as condições iniciais x(0)=0,8 e x’(0)=0, obtemos A=0,8 e
então em t=0:
Passo 5
Para achar quando x(t)=0, basta zerar o parêntese:
As soluções são
Passo 6
Dividindo por
, as duas primeiras soluções positivas para t são
Passo 7
Precisamos do primeiro instante em que a velocidade é positiva. Cálculo de x’(t) mostra que em t_1 a velocidade é negativa (passando para baixo) e em t_2 é positiva (passando para cima).
Passo 8
Logo, o primeiro instante em que a mola passa pela posição de equilíbrio indo para cima é
[ t = \frac{5\pi/3}{5\sqrt{3}} = \frac{\pi}{3\sqrt{3}} = \frac{\pi\sqrt{3}}{9}s \approx 0{,}605s.