Sc R=[0,4] times[-1,2], use a soma de Riemann com m=2, n=3 para estimar o vallor de integral duplan(1-x y^2) d A. Tome os pontos de amostragem como os cantos superiores esquerdos dos retingulos.

Passo 1

O enunciado quer estimar a integral dupla de f(x,y)=1 - x y^2 sobre R=[0,4]times[-1,2] usando soma de Riemann com m=2 subdivisões em x e n=3 em y. Vamos aplicar o conceito de soma de Riemann de duas variáveis, em que dividimos o retângulo em mtimes n blocos, escolhemos um ponto de amostragem em cada bloco e fazemos .

Passo 2

Dividimos o intervalo em x e y em partes iguais. O tamanho de cada subdivisão é dado por:
De
De
Portanto cada retângulo tem área De.

Passo 3

Os pontos de amostragem são os cantos superiores esquerdos de cada retângulo, isto é (xi-1,yj). As abscissas xi são 0,2,4 e as ordenadas yj são -1,0,1,2. Então temos 6 pontos:
  • Para x=0: (0,0),(0,1),(0,2) com
    f(0,y)=1-0,y^2=1.
  • Para x=2: (2,0),(2,1),(2,2) com
    f(2,0)=1, f(2,1)=1-2cdot1=-1, f(2,2)=1-2cdot4=-7

Passo 4

Agora somamos os valores de f em cada ponto e multiplicamos pela área de cada retângulo:
sum f(x^*,y^*) = (1+1+1)+(1-1-7)=3-7=-4,
sum f(x^*,y^*),De

Resposta

-8

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