Calcule a integral iterada.
integral1^2 integral0^2 x integral0^ln x x e^-y d y d x d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada tridimensional
integralx=1^2 integralz=0^2x integraly=0^ln x x e^-y,dy,dz,dx
O conteúdo é integração iterada em três variáveis, e vamos precisar realizar as integrais uma a uma, de dentro para fora, aplicando propriedades de integrais definidas e fatoração de constantes.

Passo 2

Primeiro passo concreto: calcular a integral interna em y
integraly=0^ln x x e^-y,dy
Aqui x é constante em relação a y, então
integral0^ln x x e^-y,dy = x integral0^ln x e^-y,dy = x l[-e^-yr]0^ln x = xl(-e^-ln x + e^0r) = xl(-tfrac1x +1r) = x - 1

Passo 3

Agora integramos o resultado em z, com z indo de 0 a 2x:
integralz=0^2x (x-1),dz = (x-1) integral0^2x dz = (x-1)(2x) = 2x^2 - 2x

Passo 4

Por fim, integramos em x de 1 a 2:
integralx=1^2 (2x^2 - 2x),dx = 2integral1^2 x^2,dx - 2integral1^2 x,dx = 2l[tfracx^33r]1^2 - 2l[tfracx^22r]1^2
Calculando os valores:
2l(tfrac83 - tfrac13r) - 2l(tfrac42 - tfrac12r) = 2cdottfrac73 - 2cdottfrac32 = tfrac143 - 3 = tfrac14 - 93 = tfrac53

Resposta

5/3

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