Resolva cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial do sistema
com
e
. Esse é um sistema linear de EDOs; vamos usar a teoria de autovalores e autovetores para escrever a solução geral como combinação de exponenciais matriciais.
Passo 2
Para encontrar os autovalores de
, calculamos o determinante
:
Resolvendo, achamos
e
.
Passo 3
Agora, para cada autovalor
achamos um autovetor
:
Para
, resolvemos
, ou seja
logo podemos escolher
.
Para
, resolvemos
, ou seja
podemos escolher
.
Assim, a solução geral do sistema é
Passo 4
Para determinar
e
, aplicamos a condição inicial:
Isso dá o sistema
Da primeira equação vem
Passo 5
Substituindo
e
na solução geral, obtemos a solução particular do problema de valor inicial.