Resolva cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
X^prime=(cc 1 & -3 -2 & 2 ) X, binom05

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial do sistema X'=AX com A=1&-3-2&2 e X(0)=05. Esse é um sistema linear de EDOs; vamos usar a teoria de autovalores e autovetores para escrever a solução geral como combinação de exponenciais matriciais.

Passo 2

Para encontrar os autovalores de A, calculamos o determinante det(A-lambda I)=0:
det1-lambda & -3 -2 & 2-lambda=(1-lambda)(2-lambda)-(-3)(-2)=lambda^2-3lambda-4=0
Resolvendo, achamos lambda1=4 e lambda2=-1.

Passo 3

Agora, para cada autovalor lambdai achamos um autovetor vi:
Para lambda1=4, resolvemos (A-4I)v=0, ou seja
-3 & -3 -2 & -2xy=0 implies x+y=0,
logo podemos escolher v1=-11.
Para lambda2=-1, resolvemos (A+I)v=0, ou seja
2 & -3 -2 & 3xy=0 implies 2x-3y=0 implies x=tfrac32y,
podemos escolher v2=32.
Assim, a solução geral do sistema é
X(t)=c1v1e^4t+c2v2e^-t

Passo 4

Para determinar c1 e c2, aplicamos a condição inicial:
X(0)=05=c1-11+c232 =-c1+3c2c1+2c2
Isso dá o sistema
-c1+3c2=0,c1+2c2=5
Da primeira equação vem c1=3c2. Substituindo na segunda: 3c2+2c2=5implies5c2=5implies c2=1 e, portanto, c1=3.

Passo 5

Substituindo c1=3 e c2=1 na solução geral, obtemos a solução particular do problema de valor inicial.

Resposta

X(t)=-3e^4t+3e^-t3e^4t+2e^-t

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