Determine a solução geral dos sitemas:
X^prime=(ll 1 & 2 0 & 1 ) X+binom12 e^t6 e^t

Passo 1

Vamos resolver o sistema de equações diferenciais dado por:
X^prime=(ll 1 & 2 0 & 1 ) X+binom12 e^t6 e^t
Neste exercício, trabalharemos com sistemas de equações diferenciais lineares não homogêneas. Para resolver, precisaremos encontrar a solução geral do sistema, que é a soma da solução da parte homogênea com uma solução particular da parte não homogênea. Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte homogênea do sistema. A equação homogênea associada é:
X^prime = A X
onde
A = (ll 1 & 2 0 & 1 )
Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral para a equação homogênea.

Passo 3

Para resolver a equação homogênea X^prime = A X, precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz A. Começamos encontrando os autovalores lambda resolvendo o determinante:
det(A - lambda I) = 0
onde I é a matriz identidade.
Calculando:
det(ll 1 - lambda & 2 0 & 1 - lambda ) = (1 - lambda)(1 - lambda) - 0 times 2 = (1 - lambda)^2 = 0
Então, o autovalor é lambda = 1, com multiplicidade 2.

Passo 4

Com o autovalor lambda = 1, agora encontramos o autovetor correspondente resolvendo:
(A - lambda I) v = 0
Substituindo lambda = 1:
(ll 0 & 2 0 & 0 ) binomv1v2 = binom00
A partir da primeira equação, temos 2 v2 = 0, o que implica v2 = 0. v1 pode ser qualquer número real. Podemos escolher v1 = 1, então um autovetor associado é:
v = binom10

Passo 5

Como a matriz A possui um único autovalor com multiplicidade 2 e apenas um autovetor linearmente independente, a solução geral da parte homogênea inclui termos adicionais multiplicados por t. A forma geral da solução homogênea é:
Xh(t) = (C1 I + C2 (I t)) e^lambda t v
Onde C1 e C2 são constantes a serem determinadas.
Aplicando os valores encontrados:
Xh(t) = (C1 I + C2 t I) e^t binom10
Simplificando:
Xh(t) = e^t [ C1 binom10 + C2 t binom10 ] = binom(C1 + C2 t) e^t0

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular Xp(t) para a equação não homogênea:
X^prime = A X + binom12 e^t6 e^t
Para isso, assumimos uma forma para Xp(t). Como o termo não homogêneo é binom12 e^t6 e^t, vamos supor uma solução particular da forma:
Xp(t) = binoma e^tb e^t
onde a e b são constantes a serem determinadas.

Passo 7

Calculando a derivada de Xp(t):
Xp^prime(t) = binoma e^tb e^t
Substituindo Xp(t) e Xp^prime(t) na equação original:
binoma e^tb e^t = (ll 1 & 2 0 & 1 ) binoma e^tb e^t + binom12 e^t6 e^t
Multiplicando a matriz A pelo vetor Xp(t):
(ll 1 & 2 0 & 1 ) binoma e^tb e^t = binom1 cdot a e^t + 2 cdot b e^t0 cdot a e^t + 1 cdot b e^t = binom(a + 2b) e^tb e^t
Então, temos:
binoma e^tb e^t = binom(a + 2b) e^tb e^t + binom12 e^t6 e^t

Passo 8

Agora, igualamos as componentes dos vetores:
Para a primeira equação:
a e^t = (a + 2b) e^t + 12 e^t
Dividindo ambos os lados por e^t:
a = a + 2b + 12
Simplificando:
0 = 2b + 12 implies b = -6
Para a segunda equação:
b e^t = b e^t + 6 e^t
Subtraindo b e^t de ambos os lados:
0 = 6 e^t
O que não traz informação adicional, já que e^t neq 0. Portanto, o valor de b encontrado é suficiente.

Passo 9

Com b = -6, voltamos à primeira equação para confirmar:
0 = 2(-6) + 12 implies 0 = -12 + 12 implies 0 = 0
Tudo está correto. Agora, sabemos que b = -6, mas ainda precisamos encontrar a.
Da primeira equação:
a = a + 2b + 12 implies 0 = 2b + 12
Já encontramos b = -6, então não há restrição para a. Para simplificar, podemos escolher a = 0.
Então, uma solução particular é:
Xp(t) = binom0-6 e^t

Passo 10

Agora, combinamos a solução homogênea Xh(t) com a solução particular Xp(t) para obter a solução geral:
X(t) = Xh(t) + Xp(t) = binom(C1 + C2 t) e^t0 + binom0-6 e^t = binom(C1 + C2 t) e^t-6 e^t
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.

Resposta

A solução geral do sistema é:
X(t) = binom(C1 + C2 t) e^t-6 e^t
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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