Determine a solução geral dos sitemas:
Passo 1
Vamos resolver o sistema de equações diferenciais dado por:
Neste exercício, trabalharemos com sistemas de equações diferenciais lineares não homogêneas. Para resolver, precisaremos encontrar a solução geral do sistema, que é a soma da solução da parte homogênea com uma solução particular da parte não homogênea. Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte homogênea do sistema. A equação homogênea associada é:
onde
Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral para a equação homogênea.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea
, precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz
. Começamos encontrando os autovalores
resolvendo o determinante:
onde
é a matriz identidade.
Calculando:
Então, o autovalor é
, com multiplicidade 2.
Passo 4
Com o autovalor
, agora encontramos o autovetor correspondente resolvendo:
Substituindo
:
A partir da primeira equação, temos
, o que implica
.
pode ser qualquer número real. Podemos escolher
, então um autovetor associado é:
Passo 5
Como a matriz
possui um único autovalor com multiplicidade 2 e apenas um autovetor linearmente independente, a solução geral da parte homogênea inclui termos adicionais multiplicados por
. A forma geral da solução homogênea é:
Onde
e
são constantes a serem determinadas.
Aplicando os valores encontrados:
Simplificando:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea:
Para isso, assumimos uma forma para
. Como o termo não homogêneo é
, vamos supor uma solução particular da forma:
onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 7
Calculando a derivada de
:
Substituindo
e
na equação original:
Multiplicando a matriz
pelo vetor
:
Então, temos:
Passo 8
Agora, igualamos as componentes dos vetores:
Para a primeira equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Simplificando:
Para a segunda equação:
Subtraindo
de ambos os lados:
O que não traz informação adicional, já que
. Portanto, o valor de
encontrado é suficiente.
Passo 9
Com
, voltamos à primeira equação para confirmar:
Tudo está correto. Agora, sabemos que
, mas ainda precisamos encontrar
.
Da primeira equação:
Já encontramos
, então não há restrição para
. Para simplificar, podemos escolher
.
Então, uma solução particular é:
Passo 10
Agora, combinamos a solução homogênea
com a solução particular
para obter a solução geral:
Onde
e
são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.
Resposta
A solução geral do sistema é:
onde
e
são constantes arbitrárias.