Esboce a regióo delimitada pelos gráficos das equaçoes e ache sua área utilizando uma ou mais integrais duplas.
9 y=x, | y=3 x, x+y=4 |

Passo 1

Resumo do enunciado: estamos na matéria de Cálculo Multivariável e precisamos esboçar a região triangular delimitada pelas retas y=x9, y=3x e x+y=4, e depois calcular sua área usando integrais duplas.

Passo 2

Determinamos os pontos de interseção das retas. Interseção de y=3x com x+y=4: x+3x=4Rightarrow x=1, y=3. Interseção de y=x9 com x+y=4: x+x9=4Rightarrow x=tfrac185, y=tfrac25. As retas y=3x e y=x9 só se cruzam em (0,0).
No esboço, vemos um triângulo com vértices A=(0,0), B=(1,3), C=(tfrac185,tfrac25). A área dessa região R pode ser calculada por integral duplaR1,dA.

Passo 3

Para montar a integral dupla escolhemos a ordem dx,dy. Para cada y, x varia entre a reta x=tfracy3 (linha y=3x) e a reta x=9y (linha y=tfracx9), até o limite x=4-y (linha x+y=4). As funções se cruzam em y=tfrac25, pois 9y=4-y. Assim dividimos em dois intervalos de y: de 0 a tfrac25 temos xin[tfracy3,9y], e de tfrac25 a 3 temos xin[tfracy3,4-y]. Logo a área é dada por:
integral0^25 integraly/3^9y dx,dy ;+ ; integral25^3 integraly/3^4-y dx,dy

Passo 4

Calculamos a primeira parte. Para um y fixo,
integraly/3^9y dx = 9y - y3 = 26y3
Integrando em y de 0 a tfrac25:
integral0^2/5 26y3 dy = 263 cdot y^22 gr|0^2/5 = 263 cdot 450 = 5275

Passo 5

Calculamos a segunda parte. Para um y fixo,
integraly/3^4-y dx = 4 - y - y3 = 4 - 4y3
Integrando em y de tfrac25 a 3:
integral2/5^3 l(4 - 4y3r) dy = l[4y - 2y^23r]2/5^3 = 6 - 11275 = 33875

Passo 6

Somamos as duas partes para obter a área:
5275 + 33875 = 39075 = 265

Resposta

\frac{26}{5}

Exercícios relacionados