Esboce a regióo delimitada pelos gráficos das equaçoes e ache sua área utilizando uma ou mais integrais duplas. , | |
Passo 1
Resumo do enunciado: estamos na matéria de Cálculo Multivariável e precisamos esboçar a região triangular delimitada pelas retas , e , e depois calcular sua área usando integrais duplas.
Passo 2
Determinamos os pontos de interseção das retas. Interseção de com : , . Interseção de com : , . As retas e só se cruzam em .
No esboço, vemos um triângulo com vértices , , . A área dessa região pode ser calculada por .
Passo 3
Para montar a integral dupla escolhemos a ordem . Para cada , varia entre a reta (linha ) e a reta (linha ), até o limite (linha ). As funções se cruzam em , pois . Assim dividimos em dois intervalos de : de a temos , e de a temos . Logo a área é dada por:
Passo 4
Calculamos a primeira parte. Para um fixo,
Integrando em de 0 a :
Passo 5
Calculamos a segunda parte. Para um y fixo, integraly/3^4-y dx = 4 - y - y3 = 4 - 4y3
Integrando em y de tfrac25 a 3: integral2/5^3 l(4 - 4y3r) dy = l[4y - 2y^23r]2/5^3 = 6 - 11275 = 33875
Passo 6
Somamos as duas partes para obter a área: 5275 + 33875 = 39075 = 265