Calcule a integral iterada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral iterada que você me passou. A questão envolve cálculo de integrais duplas, onde a gente integra uma função
primeiro em relação a
e depois em relação a
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais iteradas e aplicar um pouco de substituição para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a estrutura da integral iterada:
Aqui, estamos integrando
em relação a
de
até
, e depois integrando o resultado em relação a
de 1 até 2.
Passo 3
Vamos começar resolvendo a integral interna, que é a integral em relação a
:
Para integrar
em relação a
, vamos fazer uma substituição simples. Vamos deixar
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Substituindo na integral, temos:
Note que os limites de integração mudaram porque quando
,
, e quando
,
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de
em relação a
:
Passo 6
Agora que resolvemos a integral interna, nosso próximo passo é integrar o resultado em relação a
:
Vamos separar essa integral em duas partes:
Passo 7
Primeiro, vamos resolver
:
Avaliando entre 1 e 2:
Então, a primeira parte fica:
Passo 8
Agora, vamos resolver
usando integração por partes. Lembre-se que integração por partes segue a fórmula:
Vamos escolher:
Aplicando a fórmula:
Avaliando entre 1 e 2:
Passo 9
Agora, juntando tudo:
Resposta
A integral iterada é igual a
.