Calcule a integral iterada.
integral1^2 integralx^2^x e^y / x d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral iterada que você me passou. A questão envolve cálculo de integrais duplas, onde a gente integra uma função primeiro em relação a e depois em relação a . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais iteradas e aplicar um pouco de substituição para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a estrutura da integral iterada:
integral1^2 integralx^2^x e^y / x , d y , d x
Aqui, estamos integrando em relação a de até , e depois integrando o resultado em relação a de 1 até 2.

Passo 3

Vamos começar resolvendo a integral interna, que é a integral em relação a integralx^2^x e^y / x , d y :
d ud y = 1x Rightarrow d y = x , d u
Para integrar em relação a , vamos fazer uma substituição simples. Vamos deixar . Então, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integralx^2^x e^y / x , d y = integralu = x^u = 1 e^u cdot x , d u = x integralx^1 e^u , d u
Note que os limites de integração mudaram porque quando , , e quando , .

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de x integralx^1 e^u , d u = x [ e^u ]x^1 = x ( e^1 - e^x ) = x e - x e^x em relação a :

Passo 6

Agora que resolvemos a integral interna, nosso próximo passo é integrar o resultado em relação a integral1^2 ( x e - x e^x ) , d x :
e integral1^2 x , d x - integral1^2 x e^x , d x
Vamos separar essa integral em duas partes:

Passo 7

Primeiro, vamos resolver integral x , d x = 12 x^2 + C :
[ 12 x^2 ]1^2 = 12 (4) - 12 (1) = 2 - 12 = 32
Avaliando entre 1 e 2:
e cdot 32 = 3 e2
Então, a primeira parte fica:

Passo 8

Agora, vamos resolver integral u , dv = u v - integral v , du usando integração por partes. Lembre-se que integração por partes segue a fórmula:
u = x Rightarrow du = d x
Vamos escolher:
dv = e^x d x Rightarrow v = e^x
integral x e^x , d x = x e^x - integral e^x , d x = x e^x - e^x + C = e^x (x - 1) + C
Aplicando a fórmula:
[ e^x (x - 1) ]1^2 = e^2 (2 - 1) - e^1 (1 - 1) = e^2 cdot 1 - e cdot 0 = e^2
Avaliando entre 1 e 2:

Passo 9

Agora, juntando tudo:
3 e2 - e^2

Resposta

A integral iterada é igual a .

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