(a) O que é uma sequência limitada?
(b) O que é uma sequência monótona?
© O que você pode dizer sobre uma sequência monótona limitada?
(b) O que é uma sequência monótona?
© O que você pode dizer sobre uma sequência monótona limitada?
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado pede e quais conceitos de Análise vamos usar: aqui caem as definições de sequência limitada, sequência monótona e o Teorema da Convergência Monótona.
Passo 2
Uma sequência
é dita limitada se existir uma constante
tal que, para todo
natural, tenha-se
. Isso significa que todos os termos de
ficam dentro do intervalo
.
Passo 3
Uma sequência
é monótona se for sempre crescente ou sempre decrescente. Mais formalmente, dizemos que é crescente se
para todo
, e decrescente se
para todo
.
Passo 4
Quando uma sequência é ao mesmo tempo monótona e limitada, podemos aplicar o Teorema da Convergência Monótona. Ele afirma que toda sequência monótona e limitada converge. Mais ainda:
se for crescente e limitada superiormente, então ela converge para
;
se for decrescente e limitada inferiormente, então ela converge para
.
se
se
Resposta
(a) Uma sequência é limitada se seus termos ficam todos dentro de um intervalo finito, isto é, existe
tal que
para todo
. (b) É monótona se for ou sempre crescente (
) ou sempre decrescente (
). © Pelo Teorema da Convergência Monótona, toda sequência que é ao mesmo tempo monótona e limitada converge (a crescente converge para seu supremo e a decrescente para seu ínfimo).