(a) O que é uma sequência limitada?
(b) O que é uma sequência monótona?
© O que você pode dizer sobre uma sequência monótona limitada?

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado pede e quais conceitos de Análise vamos usar: aqui caem as definições de sequência limitada, sequência monótona e o Teorema da Convergência Monótona.

Passo 2

Uma sequência (an) é dita limitada se existir uma constante M>0 tal que, para todo n natural, tenha-se |an| <= M. Isso significa que todos os termos de (an) ficam dentro do intervalo [-M, M].

Passo 3

Uma sequência (an) é monótona se for sempre crescente ou sempre decrescente. Mais formalmente, dizemos que é crescente se an+1 >= an para todo n, e decrescente se an+1 <= an para todo n.

Passo 4

Quando uma sequência é ao mesmo tempo monótona e limitada, podemos aplicar o Teorema da Convergência Monótona. Ele afirma que toda sequência monótona e limitada converge. Mais ainda:
se (an) for crescente e limitada superiormente, então ela converge para supan:ninN;
se (an) for decrescente e limitada inferiormente, então ela converge para infan:ninN.

Resposta

(a) Uma sequência é limitada se seus termos ficam todos dentro de um intervalo finito, isto é, existe M>0 tal que |an|<= M para todo n. (b) É monótona se for ou sempre crescente ( an+1>= an) ou sempre decrescente ( an+1<= an). © Pelo Teorema da Convergência Monótona, toda sequência que é ao mesmo tempo monótona e limitada converge (a crescente converge para seu supremo e a decrescente para seu ínfimo).

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