Expresse a função como a soma de uma série de potências usando primeiro frações parciais. Encontre o intervalo de convergência.
11.
12.
11.
12.
Passo 1
O enunciado pede para expressar as funções
e
como séries de potências em torno de
, usando frações parciais e depois a expansão em séries geométricas, e ainda determinar o intervalo de convergência de cada uma.
Passo 2
Para
, fatoramos o denominador:
. Procuramos constantes
e
tais que
Substituindo
Passo 3
Para expandir em série, usamos a fórmula geométrica
. Temos
$$
\frac{1}{x-2}=-\frac12\frac{1}{1-\frac{x}{2}}=-\frac12\sum_{n=0}{\infty}\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)n=-\sum_{n=0}{\infty}\frac{xn}{2^{n+1}},
\frac{1}{x+1}=\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n x^n,
Passo 4
O intervalo de convergência é a interseção
e
, ou seja
.
Passo 5
Para
, fatoramos
e escrevemos
Substituindo
Passo 6
De novo aplicamos a série geométrica em torno de
. Para
usamos
válido para
(ou seja
), obtendo
$$-\frac{1}{2x+1}=-\sum_{n=0}{\infty}(-1)n2^n x^n.
-\frac{1}{1-x}=-\sum_{n=0}{\infty}xn,
Passo 7
O intervalo de convergência é a interseção
e
, ou seja
.
Resposta
Para a função 11 temos
com intervalo de convergência
Para a função 12 temos
com intervalo de convergência