Expresse a função como a soma de uma série de potências usando primeiro frações parciais. Encontre o intervalo de convergência.
11. f(x)=3x^2-x-2
12. f(x)=x+22 x^2-x-1

Passo 1

O enunciado pede para expressar as funções f(x)=tfrac3x^2 - x - 2 e f(x)=tfracx+22x^2 - x -1 como séries de potências em torno de x=0, usando frações parciais e depois a expansão em séries geométricas, e ainda determinar o intervalo de convergência de cada uma.

Passo 2

Para f(x)=tfrac3x^2 - x - 2, fatoramos o denominador: x^2 - x -2=(x-2)(x+1). Procuramos constantes A e B tais que
3(x-2)(x+1)=Ax-2+Bx+1
Substituindo x=2 3=3A A=1, e substituindo x=-1 3=-3B B=-1. Logo
f(x)=1x-2-1x+1

Passo 3

Para expandir em série, usamos a fórmula geométrica 1/(1-t)=sumn=0^inftyt^n. Temos
$$
\frac{1}{x-2}=-\frac12\frac{1}{1-\frac{x}{2}}=-\frac12\sum_{n=0}{\infty}\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)n=-\sum_{n=0}{\infty}\frac{xn}{2^{n+1}}, 1x-2=-1211-x2=-12sumn=0^inftyl(x2r)^n=-sumn=0^inftyx^n2^n+1,á
\frac{1}{x+1}=\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}{\infty}(-1)n x^n,
|x/2|<1áf(x)=-\sum_{n=0}{\infty}\frac{xn}{2{n+1}}-\sum_{n=0}{\infty}(-1)^n x^n.$$

Passo 4

O intervalo de convergência é a interseção |x|<2 e |x|<1, ou seja |x|<1.

Passo 5

Para f(x)=tfracx+22x^2 - x -1, fatoramos 2x^2 - x -1=(2x+1)(x-1) e escrevemos
x+2(2x+1)(x-1)=A2x+1+Bx-1
Substituindo x=1 obtém-se B=1, e com x=-tfrac12 obtém-se A=-1. Logo
f(x)=-12x+1+1x-1

Passo 6

De novo aplicamos a série geométrica em torno de x=0. Para 1/(2x+1)=1/(1+2x) usamos
11+2x=sumn=0^infty(-1)^n(2x)^n=sumn=0^infty(-1)^n2^n x^n,
válido para |2x|<1 (ou seja |x|), obtendo
$$-\frac{1}{2x+1}=-\sum_{n=0}{\infty}(-1)n2^n x^n.
-12x+1=-sumn=0^infty(-1)^n2^n x^n
-\frac{1}{1-x}=-\sum_{n=0}{\infty}xn,
1/(x-1)=-1/(1-x)áf(x)=-\sum_{n=0}{\infty}(-1)n2^n xn-\sum_{n=0}{\infty}x^n.$$

Passo 7

O intervalo de convergência é a interseção |x| e |x|<1, ou seja |x|.

Resposta

Para a função 11 temos
f(x)=3x^2-x-2=-sumn=0^inftyx^n2^n+1-sumn=0^infty(-1)^n x^n,
com intervalo de convergência
|x|<1
Para a função 12 temos
f(x)=x+22x^2-x-1=-sumn=0^infty(-1)^n2^n x^n-sumn=0^inftyx^n,
com intervalo de convergência
|x|

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