Suponha que f(x) seja a soma de uma série de potências com raio de convergência R.
(a) Como você deriva f ? Qual é o raio de convergência da série para f^prime ?
(b) Como você integra f ? Qual é o raio de convergência da série para integral f(x) d x ?

Passo 1

Estamos lidando com uma função f(x) dada por uma série de potências
f(x)=sumn=0^infty an x^n
com raio de convergência R. O conteúdo é term-by-term derivação e integração de séries de potências, e vamos usar o critério de Cauchy-Hadamard para os raios.

Passo 2

Para derivar f(x) term-by-term, aplicamos a regra d(x^n)/dx=n x^n-1. Assim obtemos
f'(x)=sumn=1^infty n,an,x^n-1
Para o raio de convergência de f’, usamos o mesmo teste de Cauchy-Hadamard: se R=1/limsupntoinftyraiz[n]|an|, então a série derivada tem igualmente raio R.

Passo 3

Para integrar f(x) term-by-term, aplicamos integral x^n dx= x^n+1/(n+1). Assim
integral f(x),dx = C + sumn=0^infty ann+1,x^n+1
O termo constante C é a constante de integração. Novamente, pelo critério de Cauchy-Hadamard, essa nova série tem raio de convergência R.

Resposta

(a) f’(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n,a_n,x^{n-1}, com raio de convergência R. (b) \displaystyle\int f(x)dx = C + \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}, com raio de convergência R.

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