Suponha que
seja a soma de uma série de potências com raio de convergência
.
(a) Como você deriva
? Qual é o raio de convergência da série para
?
(b) Como você integra
? Qual é o raio de convergência da série para
?
(a) Como você deriva
(b) Como você integra
Passo 1
Estamos lidando com uma função f(x) dada por uma série de potências
com raio de convergência R. O conteúdo é term-by-term derivação e integração de séries de potências, e vamos usar o critério de Cauchy-Hadamard para os raios.
Passo 2
Para derivar f(x) term-by-term, aplicamos a regra
. Assim obtemos
Para o raio de convergência de f’, usamos o mesmo teste de Cauchy-Hadamard: se
, então a série derivada tem igualmente raio R.
Passo 3
Para integrar f(x) term-by-term, aplicamos
. Assim
O termo constante
é a constante de integração. Novamente, pelo critério de Cauchy-Hadamard, essa nova série tem raio de convergência R.
Resposta
(a) f’(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n,a_n,x^{n-1}, com raio de convergência R. (b) \displaystyle\int f(x)dx = C + \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}, com raio de convergência R.