Considere os sistemas
(a) lx1^prime=lambda1 x1 x2^prime=lambda2 x2 , com 0.
(b) lx1^prime=lambda1 x1 x2^prime=lambda2 x2 , com lambda1<0.
© lx1^prime=lambda x1+x2 x2^prime=lambda x2 , com lambda>0.
(d) lx1^prime=alpha x1-beta x2 x2^prime=beta x1+alpha x2 , com alpha<0, beta<0.
Onde lambda1, lambda2, lambda, alpha, beta in R.
( ) No sistema (a) a origem é classificada como ponto de nó, no sistema (b) a origem é classificada como ponto de sela, no sistema © a origem é classificada como ponto de nó impróprio e no sistema (d) a origem é classificada como ponto espiral.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta quatro sistemas de equações diferenciais lineares e pede para classificar como a origem se comporta em cada um deles. Esse tema faz parte da matéria de sistemas dinâmicos e análise de estabilidade. Para resolver, vamos precisar calcular os autovalores de cada sistema e, com base neles, determinar se a origem é um ponto de nó, sela, espiral, etc.

Passo 2

Sistema (a):
l x1^prime = lambda1 x1 x2^prime = lambda2 x2 , 0 < lambda1 < lambda2
Aqui, temos uma matriz diagonal com autovalores e . Ambos são positivos e distintos. Quando ambos os autovalores são reais e positivos, as soluções crescem exponencialmente à medida que aumenta, e a origem é um ponto . Como os autovalores são diferentes, é um nó real ou nó improvável.

Passo 3

Sistema (b):
l x1^prime = lambda1 x1 x2^prime = lambda2 x2 , lambda1 < 0 < lambda2
Neste caso, um autovalor é negativo ( ) e o outro é positivo ( ). Quando os autovalores têm sinais opostos, a origem é classificada como um ponto sela. Isso significa que ao longo de uma direção as soluções tendem ao infinito e, na outra, se aproximam da origem.

Passo 4

Sistema ©:
l x1^prime = lambda x1 + x2 x2^prime = lambda x2 , lambda > 0
A matriz desse sistema não é diagonal, mas possui autovalores repetidos iguais a . Quando temos autovalores reais e iguais com uma matriz não diagonalizável, a origem é classificada como um ponto nó impróprio. Isso ocorre porque, além das soluções normais, há soluções que incluem termos lineares em , indicando um comportamento mais complexo.

Passo 5

Sistema (d):
l x1^prime = alpha x1 - beta x2 x2^prime = beta x1 + alpha x2 , alpha < 0, beta < 0
Este sistema pode ser representado pela matriz:
alpha & -beta beta & alpha
Os autovalores são . Como , a parte real dos autovalores é negativa, e como , a parte imaginária é não-nula. Isso indica que as soluções oscilam enquanto decaem em amplitude, caracterizando a origem como um ponto espiral estável.

Resposta

Sim, as classificações estão corretas:
  • (a) ponto de nó
  • (b) ponto de sela
  • © ponto de nó impróprio
  • (d) ponto espiral

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