Considere os sistemas
(a)
, com
.
(b)
, com
.
©
, com
.
(d)
, com
.
Onde
.
( ) No sistema (a) a origem é classificada como ponto de nó, no sistema (b) a origem é classificada como ponto de sela, no sistema © a origem é classificada como ponto de nó impróprio e no sistema (d) a origem é classificada como ponto espiral.
(a)
(b)
©
(d)
Onde
( ) No sistema (a) a origem é classificada como ponto de nó, no sistema (b) a origem é classificada como ponto de sela, no sistema © a origem é classificada como ponto de nó impróprio e no sistema (d) a origem é classificada como ponto espiral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta quatro sistemas de equações diferenciais lineares e pede para classificar como a origem se comporta em cada um deles. Esse tema faz parte da matéria de sistemas dinâmicos e análise de estabilidade. Para resolver, vamos precisar calcular os autovalores de cada sistema e, com base neles, determinar se a origem é um ponto de nó, sela, espiral, etc.
Passo 2
Sistema (a):
Aqui, temos uma matriz diagonal com autovalores
e
. Ambos são positivos e distintos. Quando ambos os autovalores são reais e positivos, as soluções crescem exponencialmente à medida que
aumenta, e a origem é um ponto nó. Como os autovalores são diferentes, é um nó real ou nó improvável.
Passo 3
Sistema (b):
Neste caso, um autovalor é negativo (
) e o outro é positivo (
). Quando os autovalores têm sinais opostos, a origem é classificada como um ponto sela. Isso significa que ao longo de uma direção as soluções tendem ao infinito e, na outra, se aproximam da origem.
Passo 4
Sistema ©:
A matriz desse sistema não é diagonal, mas possui autovalores repetidos iguais a
. Quando temos autovalores reais e iguais com uma matriz não diagonalizável, a origem é classificada como um ponto nó impróprio. Isso ocorre porque, além das soluções normais, há soluções que incluem termos lineares em
, indicando um comportamento mais complexo.
Passo 5
Sistema (d):
Este sistema pode ser representado pela matriz:
Os autovalores são
. Como
, a parte real dos autovalores é negativa, e como
, a parte imaginária é não-nula. Isso indica que as soluções oscilam enquanto decaem em amplitude, caracterizando a origem como um ponto espiral estável.
Resposta
Sim, as classificações estão corretas:
- (a) ponto de nó
- (b) ponto de sela
- © ponto de nó impróprio
- (d) ponto espiral