Inverta a ordem de integração e calcule seu valor em
I=integral0^1 integralraizy / 2^raizy e^x^3 d x d y+integral1^4 integralraizy / 2^1 e^x^3 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de cálculo envolvendo integrais duplas. O objetivo é inverter a ordem de integração e calcular o valor da integral dada. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as integrais múltiplas e como alterar a ordem de integração. Vamos usar um pouco de geometria para visualizar a região de integração antes de invertermos a ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral original:
I = integral0^1 integralraizy2^raizy e^x^3 , dx , dy + integral1^4 integralraizy2^1 e^x^3 , dx , dy
Aqui, temos duas integrais duplas adicionadas. A primeira integra de a e para cada , varia de a . A segunda integra de a com variando de a .

Passo 3

Para inverter a ordem de integração, precisamos determinar os novos limites para e . Vamos primeiro identificar os possíveis valores de e na região de integração.
Observando os limites de :
  • Na primeira integral, vai de a .
  • Na segunda integral, vai de a .
Isso nos mostra que varia de a .

Passo 4

Agora, para cada valor de entre e , precisamos determinar os limites correspondentes de .
  • Quando , a relação varia de a . Invertendo essa relação, para um dado , varia de até .
  • Quando , varia de a . Invertendo, para um dado , varia de até .

Passo 5

Com isso, a integral invertida fica dividida em duas partes também:
  1. Para I = integral0^12 integral0^4x^2 e^x^3 , dy , dx + integral12^1 integral1^4x^2 e^x^3 , dy , dx de a , varia de a .
  2. Para de a , varia de a .
Então, reescrevemos a integral como:

Passo 6

Agora, vamos resolver cada uma das integrais internas. Note que integral0^4x^2 e^x^3 , dy = e^x^3 cdot (4x^2 - 0) = 4x^2 e^x^3 é constante em relação a integral1^4x^2 e^x^3 , dy = e^x^3 cdot (4x^2 - 1) = (4x^2 - 1) e^x^3 , então a integral interna em é simples:
  1. Para a primeira parte:
  1. Para a segunda parte:

Passo 7

Substituindo essas integrais internas de volta na expressão de I = integral0^12 4x^2 e^x^3 , dx + integral12^1 (4x^2 - 1) e^x^3 , dx :

Passo 8

Agora, podemos combinar as duas integrais em uma só:
I = integral0^1 [4x^2 e^x^3 cdot chi[0,12](x) + (4x^2 - 1) e^x^3 cdot chi[12,1](x)] , dx
Onde é a função característica que escolhe qual expressão usar em cada intervalo de . Porém, para simplificar, vamos calcular as integrais separadamente.

Passo 9

Calculando a primeira integral:
integral0^12 4x^2 e^x^3 , dx
Vamos fazer uma substituição 43 integral0^(12)^3 e^u , du = 43 [e^u]0^18 = 43 (e^18 - 1) , então . Reescrevendo:

Passo 10

Agora, calculando a segunda integral:
integral12^1 (4x^2 - 1) e^x^3 , dx
Vamos dividir essa integral em duas partes:
= integral12^1 4x^2 e^x^3 , dx - integral12^1 e^x^3 , dx
Para a primeira parte, fazemos 43 integral(12)^3^1 e^u , du = 43 (e^1 - e^18) , :
Para a segunda parte, não há uma antiderivada elementar, então deixamos como está ou expressamos em termos de funções especiais.

Passo 11

Somando as partes:
I = 43 (e^18 - 1) + 43 (e^1 - e^18) - integral12^1 e^x^3 , dx
Simplificando:
I = 43 (e^18 - 1 + e^1 - e^18) - integral12^1 e^x^3 , dx = 43 (e - 1) - integral12^1 e^x^3 , dx

Passo 12

Para obter um valor numérico aproximado, podemos deixar a integral que não tem antiderivada em termos de funções especiais ou calcular numericamente. Assim, a resposta final será:

Resposta

I = 43 (e - 1) - integral12^1 e^x^3 , dx

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