Inverta a ordem de integração e calcule seu valor em
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de cálculo envolvendo integrais duplas. O objetivo é inverter a ordem de integração e calcular o valor da integral dada. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as integrais múltiplas e como alterar a ordem de integração. Vamos usar um pouco de geometria para visualizar a região de integração antes de invertermos a ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a integral original:
Aqui, temos duas integrais duplas adicionadas. A primeira integra de
a
e para cada
,
varia de
a
. A segunda integra de
a
com
variando de
a
.
Passo 3
Para inverter a ordem de integração, precisamos determinar os novos limites para
e
. Vamos primeiro identificar os possíveis valores de
e
na região de integração.
Observando os limites de
:
- Na primeira integral,
vai de a . - Na segunda integral,
vai de a .
Isso nos mostra que
varia de
a
.
Passo 4
Agora, para cada valor de
entre
e
, precisamos determinar os limites correspondentes de
.
-
Quando
, a relação varia de a . Invertendo essa relação, para um dado , varia de até . -
Quando
, varia de a . Invertendo, para um dado , varia de até .
Passo 5
Com isso, a integral invertida fica dividida em duas partes também:
- Para
de a , varia de a . - Para
de a , varia de a .
Então, reescrevemos a integral
como:
Passo 6
Agora, vamos resolver cada uma das integrais internas. Note que
é constante em relação a
, então a integral interna em
é simples:
- Para a primeira parte:
- Para a segunda parte:
Passo 7
Substituindo essas integrais internas de volta na expressão de
:
Passo 8
Agora, podemos combinar as duas integrais em uma só:
Onde
é a função característica que escolhe qual expressão usar em cada intervalo de
. Porém, para simplificar, vamos calcular as integrais separadamente.
Passo 9
Calculando a primeira integral:
Vamos fazer uma substituição
, então
. Reescrevendo:
Passo 10
Agora, calculando a segunda integral:
Vamos dividir essa integral em duas partes:
Para a primeira parte, fazemos
,
:
Para a segunda parte, não há uma antiderivada elementar, então deixamos como está ou expressamos em termos de funções especiais.
Passo 11
Somando as partes:
Simplificando:
Passo 12
Para obter um valor numérico aproximado, podemos deixar a integral que não tem antiderivada em termos de funções especiais ou calcular numericamente. Assim, a resposta final será: