Represente graficamente as seguintes funções e dê o mapa de curvas de nível para quatro valores de z=f(x, y)
f(x, y)=-8

Passo 1

O exercício pede para visualizar geometricamente a superfície definida por f(x,y) = –8 e depois traçar no plano (mapa de curvas de nível) as curvas correspondentes a quatro valores de z = f(x,y). Vamos usar conceitos de superfícies em 3D e de curvas de nível em 2D.

Passo 2

A superfície de uma função f(x,y) é o conjunto de pontos (x,y,z) em que z = f(x,y). Como aqui f(x,y) = –8 independe de x e y, isso significa que, para todo (x,y), z vale sempre –8. Logo a superfície é um plano paralelo ao plano xy, situado à altura z = –8.

Passo 3

Curvas de nível são os conjuntos de pontos (x,y) em que f(x,y) = constante (digamos z₀). Formalmente, a curva de nível para z₀ é { (x,y) ∈ ℝ² : f(x,y)=z₀ }.

Passo 4

No nosso caso f(x,y)=–8. Então: para z₀ = –8 temos { (x,y) : f(x,y)=–8 } = ℝ² inteiro (toda a extensão do plano xy). Para qualquer z₀ ≠ –8 não existe (x,y) que satisfaça f(x,y)=z₀, ou seja, curvas vazias.

Passo 5

Vamos escolher quatro valores: z₁=–8, z₂=–6, z₃=–4 e z₄=0. Então: (1) para z₁=–8 a curva de nível é todo o plano xy; (2) para z₂, z₃ e z₄ não há pontos — curvas vazias. No mapa de níveis, marcamos que somente em z=–8 existe uma “linha” que cobre tudo, e nas outras alturas nada aparece.

Resposta

A superfície é o plano paralelo ao plano xy na altura z=–8. No mapa de curvas de nível, entre os valores escolhidos z=–8, –6, –4 e 0, apenas em z=–8 existe curva de nível (que é todo o ℝ²) e para os demais valores não há nenhum ponto que satisfaça f(x,y)=z.

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