Calcule o volume do sólido W, no primeiro octante, limitado pelas superfícies z=4-x^2, y=0, z=0 e x+y=2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Precisamos calcular o volume de um sólido chamado W, que está no primeiro octante (onde x, y e z são todos positivos). Esse sólido é limitado pelas superfícies z = 4 - x^2, y = 0, z = 0 e x + y = 2. Para resolver isso, vamos usar integrais triplas, que ajudam a calcular volumes de regiões tridimensionais.

Passo 2

Vamos visualizar as limitações do sólido. No primeiro octante, temos x >= 0, y >= 0 e z >= 0. A superfície z = 4 - x^2 é uma espécie de paraboloide que abre para baixo, tocando o plano z = 0 (o plano xy). A equação x + y = 2 representa um plano que corta nosso espaço, formando uma linha no plano xy quando z = 0. Precisamos determinar os limites para x, y e z para configurar nossa integral.

Passo 3

Vamos começar determinando os limites para x e y. A equação x + y = 2 pode ser rearranjada para y = 2 - x. Isso significa que, para cada valor de x, y varia de 0 até 2 - x. Portanto, x varia de 0 a 2, e para cada x, y varia de 0 a 2 - x.

Passo 4

Agora, vamos ver os limites para z. A superfície superior é z = 4 - x^2 e a inferior é z = 0. Então, para cada ponto (x, y) no intervalo que definimos, z varia de 0 a 4 - x^2.

Passo 5

Com esses limites, podemos montar nossa integral tripla para calcular o volume V:
V = integralx=0^2 integraly=0^2 - x integralz=0^4 - x^2 dz , dy , dx
Isso significa que vamos integrar primeiro em z, depois em y e, por fim, em x.

Passo 6

Vamos resolver a integral mais interna, que é em relação a z:
integral0^4 - x^2 dz = z |0^4 - x^2 = 4 - x^2
Isso simplifica nossa integral para:
V = integral0^2 integral0^2 - x (4 - x^2) , dy , dx

Passo 7

Agora, integramos em y. Como (4 - x^2) é constante em relação a y, a integral fica:
integral0^2 - x (4 - x^2) , dy = (4 - x^2) cdot (2 - x)
Então, nosso volume agora é:
V = integral0^2 (4 - x^2)(2 - x) , dx

Passo 8

Vamos simplificar a expressão (4 - x^2)(2 - x):
(4 - x^2)(2 - x) = 4 cdot 2 - 4x - x^2 cdot 2 + x^3 = 8 - 4x - 2x^2 + x^3
Agora, a integral fica:
V = integral0^2 (8 - 4x - 2x^2 + x^3) , dx

Passo 9

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral0^2 8 , dx = 8x |0^2 = 16
integral0^2 -4x , dx = -2x^2 |0^2 = -8
integral0^2 -2x^2 , dx = -23x^3 |0^2 = -163
integral0^2 x^3 , dx = 14x^4 |0^2 = 4
Somando tudo:
V = 16 - 8 - 163 + 4 = 12 - 163 = 36 - 163 = 203

Resposta

O volume do sólido W é dfrac203 unidades cúbicas.

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