Calcule o volume do sólido , no primeiro octante, limitado pelas superfícies e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Precisamos calcular o volume de um sólido chamado , que está no primeiro octante (onde , e são todos positivos). Esse sólido é limitado pelas superfícies , , e . Para resolver isso, vamos usar integrais triplas, que ajudam a calcular volumes de regiões tridimensionais.
Passo 2
Vamos visualizar as limitações do sólido. No primeiro octante, temos , e . A superfície é uma espécie de paraboloide que abre para baixo, tocando o plano (o plano ). A equação representa um plano que corta nosso espaço, formando uma linha no plano quando . Precisamos determinar os limites para , e para configurar nossa integral.
Passo 3
Vamos começar determinando os limites para e . A equação pode ser rearranjada para . Isso significa que, para cada valor de , varia de até . Portanto, varia de a , e para cada , varia de a .
Passo 4
Agora, vamos ver os limites para . A superfície superior é e a inferior é . Então, para cada ponto no intervalo que definimos, varia de a .
Passo 5
Com esses limites, podemos montar nossa integral tripla para calcular o volume :
Isso significa que vamos integrar primeiro em , depois em e, por fim, em .
Passo 6
Vamos resolver a integral mais interna, que é em relação a :
Isso simplifica nossa integral para:
V = integral0^2 integral0^2 - x (4 - x^2) , dy , dx
Passo 7
Agora, integramos em y. Como (4 - x^2) é constante em relação a y, a integral fica:
integral0^2 - x (4 - x^2) , dy = (4 - x^2) cdot (2 - x)