Calcule a integral iterada transformando-a, antes, para coordenadas polares:
I=integral0^4 integral0^raiz4 y-y^2 raizx^2+y^2 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral dupla . Isso envolve cálculo em coordenadas cartesianas, mas a gente vai transformar para coordenadas polares para facilitar. Vamos precisar entender como mudar de coordenadas cartesianas para polares e usar o Jacobiano dessa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. As limitações de x^2 = 4y - y^2 implies x^2 + y^2 = 4y implies x^2 + (y - 2)^2 = 4 e são e . Vamos reescrever o limite de :
Isso representa um círculo com centro em e raio 2, mas só na parte onde .

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que:
x = r costheta
y = r sintheta
raizx^2 + y^2 = r
dx , dy = r , dr , dtheta
Então, a integral I = integral integral r cdot r , dr , dtheta = integral integral r^2 , dr , dtheta fica:

Passo 4

Precisamos determinar os limites de r^2 = 4r sintheta implies r = 4 sintheta e 0 <= theta <= pi na nova coordenada. Observando o círculo 0 <= r <= 4 sintheta :
Em polares, isso fica:
Então, para , como o círculo está acima do eixo , os limites são de a .
Portanto, os limites são:

Passo 5

Agora, substituímos esses limites na integral:
I = integral0^pi integral0^4 sintheta r^2 , dr , dtheta
Vamos integrar primeiro em relação a integral0^4 sintheta r^2 , dr = [ r^33 ]0^4 sintheta = (4 sintheta)^33 = 64 sin^3theta3 :

Passo 6

Agora, a integral fica:
I = 643 integral0^pi sin^3theta , dtheta
Precisamos resolver sin^3theta = sintheta (1 - cos^2theta) . Podemos usar a identidade:
integral sin^3theta , dtheta = integral sintheta , dtheta - integral sintheta cos^2theta , dtheta
Então:
-integral u^2 , du = -u^33 = -cos^3theta3
Para a segunda integral, fazemos a substituição integral sin^3theta , dtheta = -costheta + cos^3theta3 + C , :
Então, a integral fica:

Passo 7

Aplicando os limites de [ -costheta + cos^3theta3 ]0^pi a -cospi + cos^3pi3 = -(-1) + (-1)^33 = 1 - 13 = 23 :
-cos0 + cos^3 03 = -1 + 13 = -23
Para 23 - (-23) = 43 :
Para :
Então:

Resposta

Substituindo tudo, temos:
I = 643 cdot 43 = 2569
Então, a integral vale .

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