Calcule a integral iterada transformando-a, antes, para coordenadas polares:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral dupla
. Isso envolve cálculo em coordenadas cartesianas, mas a gente vai transformar para coordenadas polares para facilitar. Vamos precisar entender como mudar de coordenadas cartesianas
para polares
e usar o Jacobiano dessa transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. As limitações de
e
são
e
. Vamos reescrever o limite de
:
Isso representa um círculo com centro em
e raio 2, mas só na parte onde
.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que:
Então, a integral
fica:
Passo 4
Precisamos determinar os limites de
e
na nova coordenada. Observando o círculo
:
Em polares, isso fica:
Então, para
, como o círculo está acima do eixo
, os limites são de
a
.
Portanto, os limites são:
Passo 5
Agora, substituímos esses limites na integral:
Vamos integrar primeiro em relação a
:
Passo 6
Agora, a integral fica:
Precisamos resolver
. Podemos usar a identidade:
Então:
Para a segunda integral, fazemos a substituição
,
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Aplicando os limites de
a
:
Para
:
Para
:
Então:
Resposta
Substituindo tudo, temos:
Então, a integral vale
.