Represente graficamente as seguintes funções e dê o mapa de curvas de nível para quatro valores de z=f(x, y)
f(x, y)=5 x+3 y+1

Passo 1

A função dada é f(x,y)=5x+3y+1, que define um plano em ℝ³. O objetivo é desenhar esse plano e, em seguida, traçar as curvas de nível (contornos) para quatro valores de z = f(x,y). Vamos usar a teoria de superfícies e curvas de nível para um plano linear.

Passo 2

Para representar graficamente o plano z=5x+3y+1, identificamos sua interseção com os eixos:
Quando y=0 e z=0: 0=5x+1 ⇒ x=−1/5 (interseção com o eixo x).
Quando x=0 e z=0: 0=3y+1 ⇒ y=−1/3 (interseção com o eixo y).
Quando x=0 e y=0: z=1 (interseção com o eixo z).
Com esses três pontos o plano já está determinado. Seu vetor normal é (5,3,−1), indicando inclinação positiva em x e y e negativa em z.

Passo 3

Para obter as curvas de nível, basta fixar z=c em f(x,y)=5x+3y+1. Isso dá
5x+3y+1=c
ou seja
5x+3y=c-1
Cada valor de c gera uma reta no plano xy, todas paralelas (mesmo coeficiente angular).

Passo 4

Escolhendo quatro valores de z, por exemplo z=0, z=2, z=4 e z=6, obtemos as seguintes curvas de nível:
Para z=0: 5x+3y=-1
Para z=2: 5x+3y=1
Para z=4: 5x+3y=3
Para z=6: 5x+3y=5
No plano xy, são quatro retas paralelas com coeficiente angular -5/3, afastadas uniformemente conforme o incremento de z.

Resposta

As curvas de nível para z=0, 2, 4 e 6 são as retas:
5x+3y=−1,
5x+3y=1,
5x+3y=3,
5x+3y=5
Todas paralelas com coeficiente angular −5/3, formando o mapa de contornos do plano z=5x+3y+1.

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