Determine a área da região limitada pelas curvas
,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a área da região limitada pelas curvas $ x = y^{3} $, $ x + y = 2 $ e $ y = 0 $. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de áreas entre curvas, e vamos precisar aprender a integrar essas funções para achar a área desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde essas curvas se encontram, ou seja, os pontos de interseção delas. Isso nos ajudará a definir os limites da nossa integração.
Temos:
- $ x = y^{3} $
- $ x + y = 2 $
- $ y = 0 $
Vamos encontrar onde $ x = y^{3} $ e $ x + y = 2 $ se cruzam.
Substituindo $ x = y^{3} $ na segunda equação:
Vamos tentar encontrar um valor de $ y $ que satisfaça essa equação. Testando $ y = 1 $:
Então, $ y = 1 $ é uma solução.
Agora, encontramos que as curvas se intersectam em $ y = 1 $. Vamos achar o valor de $ x $:
Portanto, o ponto de interseção é $ (1, 1) $.
Além disso, a curva $ y = 0 $ (o eixo x) também afeta os limites.
Passo 3
Agora que sabemos os pontos de interseção, vamos visualizar como as curvas se comportam entre $ y = 0 $ e $ y = 1 $.
Para $ y $ nesse intervalo:
- A curva $ x = y^{3} $ está à esquerda.
- A curva $ x = 2 - y $ está à direita (derivada de $ x + y = 2 $).
A área entre essas duas curvas de $ y = 0 $ a $ y = 1 $ pode ser encontrada integrando a diferença entre as funções de $ x $ em relação a $ y $.
Passo 4
Vamos montar a integral para calcular a área:
Agora, vamos resolver essa integral passo a passo.
Primeiro, simplificamos a expressão dentro da integral:
Integrando termo a termo:
Calculando cada integral:
- $ \int 0^1 2 , dy = 2y \Big|_0^1 = 2(1) - 2(0) = 2 $
- $ \int 0^1 y , dy = \frac{1}{2}y^{2} \Big|_0^1 = \frac{1}{2}(1)^2 - \frac{1}{2}(0)^2 = \frac{1}{2} $
- $ \int 0^1 y^{3} , dy = \frac{1}{4}y^{4} \Big|_0^1 = \frac{1}{4}(1)^4 - \frac{1}{4}(0)^4 = \frac{1}{4} $
Agora, somamos os resultados:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas $ x = y^{3} $, $ x + y = 2 $ e $ y = 0 $ é $ \frac{5}{4} $ unidades de área.