Calcule a integral iterada, usando coordenadas esféricas ou cilíndricas.
integral0^1 integral0^raiz1-y integralraizx+y^raiz2-x-y z d z d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integraly=0^1 integralx=0^raiz1-y integralz=raizx+y^raiz2-x-y z,dz,dx,dy
Isso cai em Integração de Funções de Várias Variáveis, especialmente em integração iterada.

Passo 2

Integramos primeiro em z, lembrando que
integral z,dz=tfrac12z^2
Então
integralraizx+y^raiz2-x-y z,dz =tfrac12l[(2-x-y)-(x+y)r] =1-(x+y)

Passo 3

Substituindo de volta, vira a integral dupla
I=integral0^1integral0^raiz1-yl[1-(x+y)r]dx,dy

Passo 4

Separamos em duas partes:
integral0^raiz1-y(1-y),dx - integral0^raiz1-yx,dx =(1-y)raiz1-y-tfrac12(1-y)
Logo
I=integral0^1l[(1-y)raiz1-y-tfrac12(1-y)r]dy

Passo 5

Fazemos a troca t=1-y, com dy=-dt, e os limites de y:0to1 viram t:1to0. Invertendo a ordem:
I=integral0^1l[traiz t-tfrac12tr]dt =integral0^1t^3/2dt-tfrac12integral0^1t,dt =tfrac25-tfrac12cdottfrac12 =tfrac25-tfrac14 =tfrac320

Resposta

320

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