Dê o domínio e esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o domínio e esboçar o gráfico da função que é definida por partes. Isso envolve entender para quais valores de a função está definida (domínio) e como desenhar o gráfico considerando essas partes. Vamos precisar conhecer um pouco sobre funções definidas por partes e como identificar seu domínio e comportamento gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre domínio. O domínio de uma função são todos os valores de para os quais a função está definida. Ou seja, para quais valores de a gente consegue calcular sem problemas.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função h(x) = 2x, & se x <= -1 -x + 1, & se x > -1 :
Vamos ver para quais cada parte da função está definida:
Primeira parte: está definida para todo que seja menor ou igual a .
Segunda parte: está definida para todo maior que .
Como não há restrições adicionais (como dentro de raízes quadradas ou denominadores que não possam ser zero), o domínio da função é todos os números reais.
Passo 4
Agora, vamos esboçar o gráfico da função. Como é uma função definida por partes, vamos desenhar cada parte separadamente e depois juntá-las.
Passo 5
Primeira parte: h(-1) = 2 times (-1) = -2 para h(0) = -0 + 1 = 1
Essa é uma função linear com inclinação 2. Vamos plotar um ponto para :
Então, temos o ponto (-1, -2). Como vai até menos infinito, a reta continua para a esquerda.
Segunda parte: para
Outra função linear, mas com inclinação -1. Vamos plotar o ponto onde :
Então, temos o ponto (0, 1). A reta continua para a direita.
Passo 6
Vamos verificar a continuidade no ponto de transição limx to -1^+ (-x + 1) = -(-1) + 1 = 2 :
Para , .
Para , se aproximarmos de -1 pela direita:
Como -2 ≠ 2, há um buraco no gráfico em para a segunda parte.
Passo 7
Juntando tudo:
A reta vai até com um ponto sólido em (-1, -2).
A reta começa logo depois de com um círculo aberto em (-1, 2) e continua para a direita.
Resposta
Domínio: Todos os números reais ().
Esboço do Gráfico:
Uma reta crescente para , com um ponto sólido em (-1, -2).
Uma reta decrescente para , começando com um círculo aberto em (-1, 2).
O gráfico mostra duas retas que se encontram em , mas sem continuidade nesse ponto.