Calcule a integral iterada, usando coordenadas esféricas ou cilíndricas.
Passo 1
O enunciado pede a avaliação de . O conteúdo é integração iterada e vamos precisar usar a propriedade de independência de variáveis (a integral em é trivial) e integração por substituição em cada etapa.
Passo 2
Como a função não depende de , fazemos primeiro a integral em :
Fica
Vamos chamar esta integral bidimensional de .
Passo 3
Para calcular , integramos primeiro em . Faço a substituição , então e, quando , ; quando , . Assim
Portanto
Passo 4
Agora separamos em duas integrais:
onde
Passo 5
A integral é direta:
Passo 6
Para A, fazemos a troca x=9-t^2, de modo que dx=-2t,dt. Quando x=0 tem t=3; quando x=3 tem t=raiz6. E nota-se que
Aplicando essa antiderivada entre os limites correspondentes e subtraindo B, obtemos
I=23l[A-Br],com A expresso pela diferença de uma função do tipo acima entre w=5/2 e w=-1/2.
Finalmente, voltando ao integr al original, integral0^4integral0^3integral0^raiz9-xraizx+y,dy,dx,dz=4I