Calcule a integral iterada, usando coordenadas esféricas ou cilíndricas.
integral0^4 integral0^3 integral0^raiz9-x raizx+y d y d x d z

Passo 1

O enunciado pede a avaliação de integral0^4integral0^3integral0^raiz9-x raizx+y,dy,dx,dz. O conteúdo é integração iterada e vamos precisar usar a propriedade de independência de variáveis (a integral em z é trivial) e integração por substituição em cada etapa.

Passo 2

Como a função raizx+y não depende de z, fazemos primeiro a integral em z:
integral0^4dz=4Fica
4integral0^3integral0^raiz9-xraizx+y,dy,dx Vamos chamar esta integral bidimensional de I.

Passo 3

Para calcular I=integral0^3integral0^raiz9-xraizx+y,dy,dx, integramos primeiro em y. Faço a substituição u=x+y, então du=dy e, quando y=0, u=x; quando y=raiz9-x, u=x+raiz9-x. Assim
integral0^raiz9-xraizx+y,dy=integralu=x^u=x+raiz9-xu^1/2,du=23l[(x+raiz9-x)^3/2-x^3/2r]Portanto
I=integral0^323l[(x+raiz9-x)^3/2-x^3/2r]dx

Passo 4

Agora separamos em duas integrais:
I=23l( A - Br), onde
A=integral0^3(x+raiz9-x)^3/2dx, B=integral0^3x^3/2dx

Passo 5

A integral B é direta:
B=integral0^3x^3/2dx=25x^5/2|0^3=25,3^5/2

Passo 6

Para A, fazemos a troca x=9-t^2, de modo que dx=-2t,dt. Quando x=0 tem t=3; quando x=3 tem t=raiz6. E nota-se que
x+raiz9-x=(9-t^2)+tPortanto
A=integralt=3^raiz6(9-t^2+t)^3/2(-2t),dt=integralraiz6^32t,(9-t^2+t)^3/2dt

Passo 7

No integrando completamos o quadrado:
9-t^2+t=374-(t-tfrac12)^2Então fazemos a substituição w=t-tfrac12 e usamos a fórmula padrão
integral(a^2-w^2)^3/2dw=w8(2w^2-5a^2)raiza^2-w^2+3a^48arcsinwa

Passo 8

Aplicando essa antiderivada entre os limites correspondentes e subtraindo B, obtemos
I=23l[A-Br],com A expresso pela diferença de uma função do tipo acima entre w=5/2 e w=-1/2.
Finalmente, voltando ao integr al original,
integral0^4integral0^3integral0^raiz9-xraizx+y,dy,dx,dz=4I

Resposta

4,I=83gll[F(w)r]w=-12^w=52-15,3^5/2gr,onde a=raiz372,
F(w)=w8(2w^2-5a^2)raiza^2-w^2+3a^48arcsinwa

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