Calcule a integral iterada, usando coordenadas esféricas ou cilíndricas.
Passo 1
Vamos chamar de conteúdo do exercício a avaliação da integral iterada.
Para lidar com o integrando 1/(x+y+z) e com o limite superior z = √(4–x–y), é natural usar a mudança de variáveis u = x+y+z, v = x, w = y, para isolar a soma no denominador.
Para lidar com o integrando 1/(x+y+z) e com o limite superior z = √(4–x–y), é natural usar a mudança de variáveis u = x+y+z, v = x, w = y, para isolar a soma no denominador.
Passo 2
O jacobiano dessa mudança (x = v, y = w, z = u–v–w) é 1, de modo que dV = du
dv
dw.
Em coordenadas (u,v,w), as desigualdades originais se traduzem em 0 ≤ w ≤ 2, 0 ≤ v ≤ √(4–w) e w+v ≤ u ≤ w+v+√(4–w–v)
Em coordenadas (u,v,w), as desigualdades originais se traduzem em 0 ≤ w ≤ 2, 0 ≤ v ≤ √(4–w) e w+v ≤ u ≤ w+v+√(4–w–v)
Passo 3
Na nova ordem de integração, primeiro integramos em u:
Então a integral original se reduz a
Passo 4
Este duplo integral pode ser avaliado numericamente ou, se desejado, separado em duas integrais de logaritmos e resolvido por partes em v. O resultado exato em forma fechada fica