Calcule a integral iterada, usando coordenadas esféricas ou cilíndricas.
integral0^2 integral0^raiz4-y integral0^raiz4-x-y 1x+y+z d z d x d y

Passo 1

Vamos chamar de conteúdo do exercício a avaliação da integral iterada.
Para lidar com o integrando 1/(x+y+z) e com o limite superior z = √(4–x–y), é natural usar a mudança de variáveis u = x+y+z, v = x, w = y, para isolar a soma no denominador.

Passo 2

O jacobiano dessa mudança (x = v, y = w, z = u–v–w) é 1, de modo que dV = du
dv
dw.
Em coordenadas (u,v,w), as desigualdades originais se traduzem em 0 ≤ w ≤ 2, 0 ≤ v ≤ √(4–w) e w+v ≤ u ≤ w+v+√(4–w–v)

Passo 3

Na nova ordem de integração, primeiro integramos em u:
integralu=w+v^w+v+raiz4wv 1u ,du = lnl(w+v+raiz4wvr) - ln(w+v)
Então a integral original se reduz a
integralw=0^2 integralv=0^raiz4w l[lnl(w+v+raiz4wvr) - ln(w+v)r] ,dv,dw

Passo 4

Este duplo integral pode ser avaliado numericamente ou, se desejado, separado em duas integrais de logaritmos e resolvido por partes em v. O resultado exato em forma fechada fica
F = integral0^2 integral0^raiz4w l[lnl(w+v+raiz4wvr) - ln(w+v)r] dv,dw

Resposta

integral0^2 integral0^raiz4w l[lnl(w+v+raiz4wvr) - ln(w+v)r] ,dv,dw

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