Encontre uma solução para a equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a seguinte equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais, que basicamente relacionam uma função com sua derivada. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e integração. Bora passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Observando o lado direito, percebemos que tanto o numerador quanto o denominador são homogêneos, ou seja, têm o mesmo grau. Isso sugere que podemos usar a substituição $ v = \frac{y}{x} $.
Passo 3
Definindo $ v = \frac{y}{x} $, então $ y = v x $. Para encontrar $ \frac{dy}{dx} $, usamos a regra do produto:
Passo 4
Substituindo $ y = v x $ e $ \frac{dy}{dx} $ na equação original:
Passo 5
Isolando $ x \frac{dv}{dx} $:
Passo 6
Agora, a equação está separável. Vamos separar as variáveis $ v $ e $ x $:
Passo 7
Vamos integrar os dois lados. Começando pelo lado esquerdo:
Fazendo a substituição $ u = 2 + 3v^{2} $, então $ du = 6v dv $ ou $ \frac{du}{6} = v dv $. Assim:
Passo 8
Integrando o lado direito:
Passo 9
Igualando as integrais:
Multiplicando tudo por 3 para simplificar:
Onde $ C’ = 3C $ é uma constante arbitrária.
Passo 10
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde $ K = e^{C’} $ é uma nova constante.
Passo 11
Lembrando que $ v = \frac{y}{x} $, substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por $ x^{2} $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ K $ é uma constante arbitrária.