Encontre uma solução para a equação diferencial
d yd x=2 x^2+5 y^22 x y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a seguinte equação diferencial:
d yd x = 2 x^2 + 5 y^22 x y
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais, que basicamente relacionam uma função com sua derivada. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e integração. Bora passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Observando o lado direito, percebemos que tanto o numerador quanto o denominador são homogêneos, ou seja, têm o mesmo grau. Isso sugere que podemos usar a substituição $ v = \frac{y}{x} $.

Passo 3

Definindo $ v = \frac{y}{x} $, então $ y = v x $. Para encontrar $ \frac{dy}{dx} $, usamos a regra do produto:
v = yx

Passo 4

Substituindo $ y = v x $ e $ \frac{dy}{dx} $ na equação original:
y = v x

Passo 5

Isolando $ x \frac{dv}{dx} $:
x dvdx

Passo 6

Agora, a equação está separável. Vamos separar as variáveis $ v $ e $ x $:
v

Passo 7

Vamos integrar os dois lados. Começando pelo lado esquerdo:
integral 2v2 + 3v^2 dv
Fazendo a substituição $ u = 2 + 3v^{2} $, então $ du = 6v dv $ ou $ \frac{du}{6} = v dv $. Assim:
u = 2 + 3v^2

Passo 8

Integrando o lado direito:
integral dxx = ln|x| + C

Passo 9

Igualando as integrais:
13 ln|2 + 3v^2| = ln|x| + C
Multiplicando tudo por 3 para simplificar:
ln|2 + 3v^2| = 3 ln|x| + C'
Onde $ C’ = 3C $ é uma constante arbitrária.

Passo 10

Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
2 + 3v^2 = K x^3
Onde $ K = e^{C’} $ é uma nova constante.

Passo 11

Lembrando que $ v = \frac{y}{x} $, substituímos de volta:
v = yx
Multiplicando ambos os lados por $ x^{2} $:
2 + 3(yx)^2 = K x^3

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
2x^2 + 3y^2 = K x^5
Onde $ K $ é uma constante arbitrária.

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