Encontre a solução geral da equação
x^2 y^prime prime-3 x y^prime+4 y=x^4

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de Cauchy–Euler
x^2y''-3x y'+4y = x^4
Conteúdo: equação diferencial de Euler-Cauchy. Vamos precisar usar o método de tentativa de solução do tipo y=x^m para a parte homogênea e depois achar uma solução particular para o termo não homogêneo.

Passo 2

Para a parte homogênea, assumimos y=x^m. Calculamos as derivadas:
y' = m x^m-1,
y'' = m(m-1)x^m-2
Substituindo em x^2y''-3x y'+4y=0 temos
x^2l(m(m-1)x^m-2r) -3xl(m x^m-1r) +4x^m = 0
que simplifica para
m(m-1)x^m -3m x^m +4x^m = 0
ou seja
(m^2-4m+4)x^m = 0 Longrightarrow m^2-4m+4=0
A equação característica é (m-2)^2=0, raiz dupla m=2.

Passo 3

Como há raiz dupla, a solução geral da parte homogênea é
yh(x) = C1x^2 + C2x^2ln x

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular yp para o termo não homogêneo x^4. Como o lado direito é um monômio x^4, tentamos
yp(x)=A x^4
Calculamos
yp' = 4A x^3,
yp'' =12A x^2
Substituindo na equação original:
x^2(12A x^2) -3x(4A x^3) +4(A x^4) = x^4
que dá
12A x^4 -12A x^4 +4A x^4 =4A x^4 = x^4
Logo 4A=1 e A=tfrac14. Portanto
yp(x)=tfrac14 x^4

Passo 5

A solução geral da equação completa é a soma da parte homogênea com a particular:

Resposta

y(x) = C_{1}x^{2} + C_{2}x^{2}\ln x + \tfrac{1}{4}x^{4}

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