Encontre a solução geral da equação
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação de Cauchy–Euler
Conteúdo: equação diferencial de Euler-Cauchy. Vamos precisar usar o método de tentativa de solução do tipo
para a parte homogênea e depois achar uma solução particular para o termo não homogêneo.
Passo 2
Para a parte homogênea, assumimos
. Calculamos as derivadas:
Substituindo em
temos
que simplifica para
ou seja
A equação característica é
, raiz dupla
.
Passo 3
Como há raiz dupla, a solução geral da parte homogênea é
Passo 4
Agora buscamos uma solução particular
para o termo não homogêneo
. Como o lado direito é um monômio
, tentamos
Calculamos
Substituindo na equação original:
que dá
Logo
e
. Portanto
Passo 5
A solução geral da equação completa é a soma da parte homogênea com a particular:
Resposta
y(x) = C_{1}x^{2} + C_{2}x^{2}\ln x + \tfrac{1}{4}x^{4}