Determine a solução da EDO
x y^prime+(x+1) y=x

Passo 1

Estamos resolvendo a EDO x y'+(x+1)y = x. O conteúdo é EDO linear de 1ª ordem e vamos usar o método do fator integrante para achar a solução geral.

Passo 2

Dividimos tudo por x (assumindo xneq0) para pôr na forma padrão y'+p(x)y=q(x):
y' + l(1 + 1xr)y = 1
Aqui p(x)=1+1/x e q(x)=1.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x)=e^integral p(x),dx:
mu(x)=expl(integral(1+tfrac1x)dxr)=exp(x+ln|x|)=|x|e^x
Para simplificar, tomamos x>0, então mu(x)=x e^x.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x) para obter uma derivada exata:
(x e^x y)' = x e^x cdot 1 = x e^x
Agora integramos ambos os lados:
integral (x e^x y)',dx = integral x e^x ,dx
Pela regra de partes em integral x e^x dx: tomamos u=x, dv=e^x dx, então
integral x e^x dx = x e^x - integral e^x dx = e^x(x-1) + C .

Passo 5

Voltando à solução, temos
x e^x y = e^x(x-1)+C
Isolando y:
y = e^x(x-1)+Cx e^x = x-1x + Cx e^x
Ou, de forma mais convencional,
y = 1 - 1x + C e^-xx

Resposta

A solução geral é
y(x)=1-1x+C e^-xx,
onde C é constante arbitrária.

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