Calcule a integral
l 1 to) Calcu<= a integral integral0^1 x^3 raiz4-x^2 d x 1-sen^2 theta=cos ^2 theta
Utilizando a substituição trigonométrica x=2 sen(theta).

Passo 1

A gente precisa calcular a integral integral0^1 x^3raiz4 - x^2,dx usando substituição trigonométrica x = 2sintheta e a identidade 1 - sin^2theta = cos^2theta. Vamos reescrever tudo em termos de theta, encontrar dx, ajustar os limites e depois integrar.

Passo 2

Com x = 2sintheta temos dx = 2costheta,dtheta. Quando x=0 segue theta=0 e quando x=1 segue sintheta=1/2, ou seja theta=pi/6. Substituindo na integral:
integral0^1 x^3 raiz4 - x^2,dx = integral0^pi/6 (2sintheta)^3 raiz4 - 4sin^2theta,(2costheta),dtheta
Como raiz4 - 4sin^2theta = 2costheta, obtemos
integral0^pi/6 8sin^3theta cdot 2costheta cdot 2costheta,dtheta = integral0^pi/6 32sin^3thetacos^2theta,dtheta

Passo 3

Usando cos^2theta = 1 - sin^2theta a integral vira
32integral0^pi/6 sin^3thetacos^2theta,dtheta = 32integral0^pi/6 (sin^3theta - sin^5theta),dtheta

Passo 4

Para integrar cada termo usamos redução de potências:
integral sin^3theta,dtheta = -costheta + tfraccos^3theta3 + C,
integral sin^5theta,dtheta = -costheta + tfrac2cos^3theta3 - tfraccos^5theta5 + C
Multiplicando por 32 e combinando, a primitiva geral é
F(theta) = 32l(tfraccos^5theta5 - tfraccos^3theta3r)

Passo 5

Agora avaliamos de 0 a pi/6. Como cos(pi/6)=tfracraiz32 e cos(0)=1, temos
Fl(tfracpi6r) - F(0) = 32l(tfrac(tfracraiz32)^55 - tfrac(tfracraiz32)^33r) - 32l(tfrac15 - tfrac13r)
Calculando os valores e simplificando dá
64 - 33raiz315

Resposta

64 - 33raiz315

Exercícios relacionados